いぬおさんのおもしろ数学実験室

おいしい紅茶でも飲みながら数学、物理、工学、プログラミング、そして読書を楽しみましょう

数学

1が出続けたサイコロは、次に振ると1は出にくいのか?

学生のときサークルの何人かで遊んでいて、サイコロが続けて3回、1の目だったことがありました。これを見た工学の先輩が「じゃあ、次に振ると1の目が出る確率は1/6より小さいね」と言ったのを聞いて、ぼくは耳を疑いました。理系ならなおさらですが、こうい…

デフィー・ヘルマン鍵交換を例え話で

面白い本でした。強くお勧めします。特にデフィー・ヘルマン鍵交換の例え話が気に入りました。もちろん例え話ですから限界はありますが、ポイントをよく捉えていて驚きました。ときどき生徒にも話します。面白がる子もいます。今回はこれを紹介します。今、…

敵機の移動に2つの曲線を使いたい。つなぎ目をどうするか?

シューティングゲームで、敵のキャラクタを式に従って動かします。空間の曲線なら、例えば だったらtが増えるとz軸の正の向きにグルグルとらせんを描きながら進みます。話題は少しそれますが、この式だって易しいけれど数学。「プログラミングに数学は不要…

数学オリンピックの予想問題をどうぞ

ぼくの恩師の出題です。数学オリンピックの予想問題だそうな。 ---------- パーティーで4組の夫婦(8人)が会い、お互いに握手をしました。あらゆる組み合わせで、というわけではありません。つまりある人はある人と握手をしなかった、ということ…

簡単そうに見えるのに……解けますか?

前、同僚だった先生に聞かれました。下の図で、直線EFはGHと平行です。点Aが直線EF上を動くとき、角θが最大になるのはAG=AHのときであることを示してください。 センター試験か共通テストの問題を解くのに、これが必要だったそうです。証明ではなく、この事…

必要条件、十分条件とは何か

p、qを条件であるとします。数学で言う条件とは「xは偶数である」などのように変数に具体的な値を入れると真偽が定まるものでした。このとき、「pならばq」を条件文と呼びます。例えば「xが偶数ならばxは4の倍数である」などです。pを仮定、qを結論…

(新)ベジェ曲線とは何か

空間の中を戦闘機を動かしましょう。普通に数学でやるように空間内の曲線の式を使ってもよいですが、式では表しにくい曲線もあります。 図を見てください。線分p0p1を8:2に内分する点、線分p1p2を8:2に内分する点、線分p2p3を8:2に内分する点をそれぞれp4、p…

任意に与えられた点が凸多面体の内部にあるかどうか判定する

与えられた点が空間内のこんな立体の内部にあるかどうか判定したいとします。立体は、与えられた頂点、8点で決まっています。 シューティングゲームなどで、ゲームを展開する空間のスクリーンに見えない部分では、基本的に戦闘機などを飛ばす必要はありませ…

ロドリゲスの回転公式とは何か、何に使えるか

空間ベクトルの話です。図でベクトルrを、ベクトルnを回転の軸としてθだけ回します。例えばθ=60°なら、ベクトルrはベクトルsのところまで回ります。ベクトルnの終点から始点を眺め、反時計回りに角度を測ります。 ベクトルrからベクトルsを求めるた…

0.4から0.6くらいの乱数が他より多めに欲しいときどうするか

いろんなプログラミング言語にRandom()といった名前の関数があります。乱数を発生させます。仕様はいろいろですが、例えば0以上1以下の乱数が欲しいときにはRandom(0, 1)などと書けばよいのです。ゲームでランダムな場所に敵を発生させたいときなどに使えま…

ガウス記号を使って小数点以下の任意の桁を四捨五入する

UnityにはMathfというクラスがあって、様々な数学の関数が使えます。例えばMathf.Sin()でsinを計算できます。プログラムに出てくる数値を四捨五入する必要があり、探したらMathf.Round()というのが見つかりました。ただ、これは名前からして「丸め」だけれど…

箱ひげ図、四分位数の問題をひとつ

次はあるデータから作った箱ひげ図です。 この図を見て、「全データの1/2以上が40以上55以下である」と言ってよいでしょうか。第1四分位数は40より大きく、第3四分位数は55未満です。なお、四分位数の定義はいくつかあるようですが、ここでは教科書流の次の…

「関数が区間x≦1、3≦xで増加」でイコールを入れるか、入れないか

生徒に聞かれました。教科書の問題です。関数が増加、減少している区間を答えなさい、というものです。 教科書の答えでは 「区間x≦1、3≦xで増加、区間1≦x≦3で減少」 です。生徒は「x=1、3では導関数の値が0なのに、増加や減少していると言っていいんで…

箱ひげ図について

ふと気づいたら数学Ⅰに「箱ひげ図」というのが入っていました。新しい指導要領からみたいですね。こんなの、学生時代に勉強した記憶もありません。……と思って最近ネットで調べたら、箱ひげ図自体新しく、70年代に出てきたそうです。ウィキペディアでは品質管…

将棋ソフトのミニマックス法、αβ法

将棋を指すソフトなどが手を考えるときに使うミニマックス法、αβ法について簡単に説明しましょう。ことによるとディープラーニング全盛の今、違う部分もあるかも知れませんが、大事さは変わらないと思います。 まず基礎知識として将棋ソフトの大体の仕組み。…

ちょっと面白い確率の問題を……

職場でちょっと面白い問題を聞きました。設定を変えて紹介します。 ------------ α製菓、β製菓はどちらもチョコ、キャラメル、ガムを製造しています。今、この2社のお菓子を扱っている店でAさんとBさんがお菓子を1個ずつ買いました。もちろん同…

相関係数の授業ではこの話をしてください。実習生も!!

高校1年生はそろそろ相関係数の話が出てくる頃かも知れません。相関係数については以前、こんな記事を書きました。 www.omoshiro-suugaku.com 相関係数とは……データから、とある方法で作った2本のベクトルのなす角をθとしたときの cos θ のことなのでした。…

正項級数はどこからどう加えても和は一致するか(これで解決!)

だいぶ前、こんな記事を書きました。 www.omoshiro-suugaku.com ↑ うまくいっていません。その後ときどきあれこれ考えていたんですが、いいこと思いついた!! これならどうだ!? 「正項級数は、どう並べ替えても、その上でどこにどう括弧をつけても(括弧…

実際に基底を入れ換えて係数がどうなるか見てみる

前、基底を入れ換えたときベクトルの表現(係数)がどう変わるのか明らかにしました。 www.omoshiro-suugaku.com ポイントだけ書いておくと によって基底を変換したとき、 であるとすると で新しい係数を求められる、ということでした。 です。実際に基底を…

曲線座標系で自然基底を求める

としましょう。これはいつもよく使っている直交座標(いつものx、y座標)と極座標(原点からの距離をr、x軸から左回りに測った角がθ)の間の変換の式なのでした。偏導関数を求めておきます。 今、ベクトル2本を次のように定義します。 これはそれぞれr…

基底を入れ換えると係数はどう変わるか

アインシュタインの規約を用いてもう少し定理を証明してみます。その前に、まずは行列で見てみましょう。 基底を入れ替えたとき、係数はどう変わるでしょうか。次の問題を考えます。 これで一応、分かりました。 これをアインシュタインの規約を用いてやって…

計量テンソルとは何か

例を用います。平面の極座標を考えましょう。 x = r cos θ、y = r sin θ というものでした。偏導関数を求めておきます。 これらを成分に持つ、次のようなベクトルを考えます。 これは後で使います。 平面上でごく近い2点間の距離を求めます。 ①から②までは全…

方程式とは何か。恒等式とは何か。

下手をすると、まさかどこかの試験に等式を2種類に分類する問題があったりしませんか……? 「次の等式は方程式か、恒等式か。方程式なら1、恒等式なら2を解答欄に書きなさい」みたいな。さすがにこれはないか……? 方程式と恒等式、観点が違います。方程式はも…

連立3元1次方程式を解く(アインシュタインの規約を使う)

3元連立1次方程式を解きます。行列で次のように書きましょう。 成分で書いておきます。成分の添え字は行を上付き、列を下付きで書きます。前々回の続きです。 www.omoshiro-suugaku.com あるいは とも書けるのでした。アインシュタインの規約を使っています…

アインシュタインの規約とは何か

3次の正方行列A、Bを考えます。成分は以下の通りだとしましょう。 積ABを考えます。積の定義によると つまり、 ということです。 この添え字ですが、みんなで約束しておけばどこに書いてもよいので例えば行列Aの i, j 成分を のように表しても問題ないはずで…

中心力のもとで運動する物体の面積速度は一定である

中心力とは、空間内の点Pに働く力で常に定点Oを向いているものを言います。物体に中心力しか働いていないとき、その物体の面積速度は一定です。面積速度とは単位時間に線分OPが掃く面積です。中心力が動径OPの長さの2乗に反比例しようが、OPに比例しようが、…

勾配の接線線積分についてちょっと

物理を勉強中です。とりあえず力学をしっかりやって、解析力学、量子力学と進めるつもりでいます。 数学はもちろんたくさん出てきます。しかし、仕方がないのですが、「これ、いいのかな?」という議論が少なくありません。それなりの説明で一応納得しておき…

赤道上には海抜高度が等しい真向かいの点のペアがある

赤道上の各点で海抜高度を考えましょう。ある場所は0m、別のある場所は120m、また別の場所は-30mとかです。さて、問題です。このとき、ある点とその真向かいの点(地球の真裏にある点)で、高度が等しくなる、そんな点のペアがあることを証明して下さい…

自然対数の底 e は無理数であることの証明

自然対数の底を e とすると、前回のマクローリン展開によれば なのでした。xはどんな値でも収束です。x=1とおいてみると です。これは実は無理数です。証明しましょう。この証明は何回か紹介している数学ワンポイント双書の『テイラー展開』(渡部隆一197…

マクローリン展開できるための条件

マクローリン展開というのがあります。高校生の頃、 というのを見て衝撃を受けました。関数によっては(というか、大抵は)値を求めるのは難しい。指数関数も三角関数もそうです。しかし、マクローリン展開を使えば(関数電卓ではない、普通の)電卓で計算で…