ブログの内容に関する問い合わせをいただきました。次の記事に誤りがあるとのことでした。
見てみると、面積を求める式として体積を求める式を書いているなど間違いが。ご指摘、ありがとうございます。次の通り訂正します。
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半径ｒの円の面積をで微分すると円周の長さになります。球の体積をｒで微分すると球の表面積になります。生徒に話すと一様に「えっ！？」と驚いてくれるところです。どうしてこうなるのか、説明しましょう。
図で、半径に沿ってｒ～ｒ＋Δｒの部分の同心円を考えます。幅 Δｒのドーナツ型です。この部分の面積は近似的に
です。従って、量の求め方の原理によれば半径Rの円の面積Sは次の式で与えられます。
これが理由なのです。「円周を積分すると面積になる」ということが分かると思います。
体積の方も同様です。球をタマネギみたいに考え、幅Δｒの薄皮を積分すると全体が求まる、という式から分かります。
こうして量の求め方の原理、微小量Δｘを使って議論するって面白いです。いろいろなことがどんどん分かる。微分方程式を立てるときにも微小量を考えたりします。
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もとの記事も一応残し、最初にこの記事へのリンクを追加しておきました。お気づきの点があればお教えいただけると助かります。
