空間内に平行四辺形ABCDがあります。座標を見ると分かりますが、直線ＡＢは平面ｙ＝ｙ0（ｚｘ平面と平行）上にあり、直線ＡＤは平面ｘ＝ｘ0（ｙｚ平面と平行）上にあります。ここでｍ1は直線ＡＢのｚｘ平面内での傾き、ｍ2は直線ＡＤのｙｚ平面内での傾きです。
点Ｃの座標が（x0+Δx, y0+Δy, z0+m1Δx+m2Δy）であることは、ＡＢ間のｚの増分がＤＣ間のｚの増分と等しい（四角形ABCDは平行四辺形なのでした）ことから分かります。
前回の記事ではＡ(x0, y0, z0)を通る平面で、ｚｘ平面との交線の傾きがｍ1、ｙｚ平面との交線の傾きがｍ2であるものの式を求めました。次のようになるのでした。
ｚ－ｚ0＝ｍ1(ｘーｘ0)＋ｍ2(ｙ－ｙ0)
もしも、関数 z = f(x, y) で fx(x0, y0) ， fy(x0, y0) （偏微分係数）が存在すれば、ここまでの議論からＡでの接平面の候補の式は
ｚ－ｚ0＝fx(ｘ0, ｙ0)(ｘーｘ0)＋fy(ｘ0, ｙ0)(ｙ－ｙ0)
となることが分かります。なぜ「接平面」でなく「接平面の候補」なのかと言うと……、ｘ軸方向、ｙ軸方向を考えたときに偏微分係数が存在したとしても、その他の方向では滑らかになっていない可能性があるからです。つまり、曲面をｘ軸方向、ｙ軸方向にスーッと滑らかに移動できたとしても、ｘ軸とｙ軸の間の方向（直線ｙ＝ｘに沿う方向など）では点Ａから先がスコン！と切れ落ちてしまっているかも知れないのです。その場合、「接平面」と呼ぶわけにはいきません。
どんな方向からＡに近づいてもそんなことが起こらないようにするための条件、つまりＡで接平面が存在するための条件が「全微分可能」です。関数
z = f(x, y) が(x0, y0)で全微分可能とは、
ｆ(x0+Δx, y0+Δy) =ｆ(x0, y0)+ fx(ｘ0, ｙ0)Δx＋fy(ｘ0, ｙ0)Δy+ε
とおくとき、Δx，Δy→0 ならば
となることです。Δｘ，Δｙは0に近づくこと以外に値に制限はなく、もちろん負でもよく、従ってこの条件が満たされれば曲面上でＡにどんな近づき方をしても「滑らかである」ということになります。すると、次が言えます。
z = f(x, y) が(x0, y0)で全微分可能であるとき、曲面 z = f(x, y) の、Ａ(x0, y0, z0) における接平面は
ｚ－ｚ0＝fx(ｘ0, ｙ0)(ｘーｘ0)＋fy(ｘ0, ｙ0)(ｙ－ｙ0)
である。
また、以下も分かります。
関数が(x0, y0)で全微分可能なら、Δｘ，Δｙの絶対値が小さければ
ｆ(x0+Δx, y0+Δy) ≒ｆ(x0, y0)+ fx(ｘ0, ｙ0)Δx＋fy(ｘ0, ｙ0)Δy
と近似できる。
何となくでいいなら「大抵成立しているよな～」、という感じですが、そうでない例はいくらでもあります。
次は「全微分」です！！ 物理でも出てきます。
