としましょう。これはいつもよく使っている直交座標（いつものｘ、ｙ座標）と極座標（原点からの距離をｒ、ｘ軸から左回りに測った角がθ）の間の変換の式なのでした。偏導関数を求めておきます。
今、ベクトル2本を次のように定義します。
これはそれぞれｒ軸、θ軸方向のベクトルです。そして、成分はｘ、ｙ系で測った値です。……★
一般化します。次のように（x, y）座標系と（u, v）座標系があるとしましょう。もちろん、図のように直交座標などの仮定はありません。
2本のベクトルを次で定義します。もちろん必要な微分可能性は満たされているという前提です。
このとき、この2本のベクトルはそれぞれｘ軸方向、ｙ軸方向のベクトルです。そして、成分は u, v 系で測った値です。
……と書かれて、読んだ人はみんなすぐ理解できるんでしょうか……。ぼくは★を見て、「なぜ？？」と思いました。一般化した方の主張の成立の理由を説明しましょう。
ｘ軸に沿ってΔｘ（≒0）だけ移動したとするとu成分、v成分の変化はそれぞれ
です。そして、Δｘ≒0 のときは下の図で水色の四角形は平行四辺形だと考えられます。
従ってｘ軸方向の変位は
と考えられます。これはａがｘ軸方向のベクトルであり、u, v 成分を使って表せば（Δu, Δv）であることを示しています。もちろん Δu, Δv は u, v 軸で測った値です。
なおここではｘ軸に沿った原点からの変位を考えましたが、ｙを任意に固定して得られる平面上の曲線（方程式はｙ＝ｃ）上の変位について考えても同じです。
このａ，ｂは曲線座標系の各点での基底となります。『テンソル』（石原繁1991裳華房）ではこれを自然基底と呼んでいます。
とうとう1都3県に緊急事態宣言がでるかも。去年の2月頃はまさかこんな風になるなんて思いもしなかった……。イヤだ、イヤだでは始まりませんからなるべくこの機会を前向きに捉えたいですが、それにしても大変な災難です……。