いぬおさんのおもしろ数学実験室

おいしい紅茶でも飲みながら数学、物理、工学、プログラミング、そして読書を楽しみましょう

球の体積を微分すると表面積に、円の面積を微分する円周になるのはなぜか?

 半径rの円の面積をで微分すると円周の長さになります。球の体積をrで微分すると球の表面積になります。生徒に話すと一様に「えっ!?」と驚いてくれるところです。どうしてこうなるのか、説明しましょう。

f:id:Inuosann:20200521182906p:plain

f:id:Inuosann:20200521184716p:plain

 図で、半径に沿ってr~r+Δrの部分の同心円を考えます。幅 Δrのドーナツ型です。この部分の面積は近似的に

f:id:Inuosann:20200521191022p:plain

です。従って、量の求め方の原理によれば半径Rの円の面積Sは次の式で与えられます。

f:id:Inuosann:20200521190843p:plain

これが理由なのです。第2辺をRで微分すると

f:id:Inuosann:20200521190246p:plain

となるわけですね(微分積分学の基本定理)。平たく言うと「積分して微分すれば元に戻るから」。体積の方も同様です。球をタマネギみたいに考え、幅Δrの薄皮を積分すると全体が求まる、という式から分かります。

 こうして量の求め方の原理、微小量Δxを使って議論するって面白いです。いろいろなことがどんどん分かる。微分方程式を立てるときにも微小量を考えたりします。未読ですが載せておきます。こういう話がたくさん出てきます。コロナ騒ぎの最中に読みたいです。