質量ｍの物体が速度ｖで運動しているときの運動エネルギーを求めます。平面で考えますが、空間でも同様です。
としましょう。ｘ軸方向、ｙ軸方向の運動方程式です。それぞれの両辺に
をかけて辺々加えると
よって
ここで、
の両辺をｔで微分して
よって
これを★に代入します。
よって
が得られます。
を得ます。Wのところはどうでしょうか？ 結局
たちの総和ということになりますが、これは力がｘ軸方向にする仕事とｙ軸方向にする微小な仕事たちの和です。だからW（仕事）でよいのですね。
凄い話です。数学は使いますが、他には運動方程式と仕事の定義くらいです。それだけで運動エネルギーが求まってしまうのです。「(dx／dt ) dt ＝ dx」など、少し不安だけれど微小量を扱っていると考えれば正しそうな、物理ではごく普通に行われている議論も含まれていますが……。とにかくこんな簡単な議論で運動エネルギーがああいう式になるのが分かるというのが驚きです。こんな感じに導ける物理の方程式がたくさんあるはずです。しばらくはこれで遊べます。
高校ではもちろんこういう感じ（式をガンガン使う）ではなく、もっと地味（？）に運動エネルギーの式を導きます。数学専攻でも1年生のときには物理は授業があって、こういう式変形も出てきていました。物体なんかそっちのけで式ばかり相手にしているのにきれいに結果が出る。学生のときは「こんな式変形、許されるのか？」と、あまりよくない印象でしたが、今はゆるくなっているのか、疲れているからか、面白そうだしいい感じ！ 気持ちに余裕があるからかも知れません。
