次の定理を証明しましょう。なかなか面白い証明です。なお、これはすでに別の証明ですがブログで取り上げています。
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（ａ，ｂ）＝1（ａ，ｂは互いに素）のとき、ａｘ＋ｂｙ＝1は整数解ｘ，ｙをもつ。
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（証明）
ａ，2ａ，3ａ，……，ｂａ（ｂ個ある）は、ｂで割った余りは全て異なります。実際、もしもこの中のｉａとｊａ（ｉ＞ｊ）はｂで割った余りが等しいとすると
ｉａーｊａ＝(ｉーｊ)ａはｂで割りきれ、ａ，ｂが互いに素であることからｉ－ｊがｂで割り切れなければなりません。しかし0＜ｉ－ｊ＜ｂなのでこれは成立しません。
ｂで割った余りはｂ種類ありますから、結局ａ，2ａ，3ａ，……，ｂａをｂで割った余りの中には必ず1が含まれます。それはｋａだとすると、ｋａ＝ｑｂ＋1（ｑは整数）となるはずです。これは最初の方程式がｘ＝ｋ，ｙ＝ーｑという解を持つことを示しています。
賢いなあ……という感じです。整数の問題は高校レベル、大学入試レベルでも面白いものがたくさんありますが、難しいです。もちろん暗号などへの応用もありますし、代数学で役に立ったりすることは分かっていますが、微積分や線形代数の役立ち方とは異なる気がします。何となく後回しにしがちで、いかん、いかんと思います……。
