異なる分母の既約分数の和は整数にならない

　異なる分母の既約分数の和は整数になりません。これを示しましょう。3／2＋10／3、1／3＋5／8など、何となく明らかっぽい気もしますが、分かりませんよね。

和を考えましょう。通分して、

を得ます。もとの2つの分数はどちらも規約なのですからｍ，ｎは互いに素ですし、ｐ，ｑも互いに素です。もしこの和が整数だとしたら、分子はｐで割り切れるはずです。分母がｐの倍数なのだから当たり前ですよね。分子にあるｍｐはｐで割り切れますから、ｎｑがｐで割り切れなければなりません。ｐ，ｑは互いに素なのでｎがｐで割り切れるはずです。次に、分母がｎで割り切れるので分子もｎで割り切れるはずです。よってｍｐがｎで割り切れなければなりません。ここでｍ，ｎは互いに素なのでｐがｎで割り切れるはずです。以上からｐ＝ｎと分かります。つまり、異なる分母の既約分数の和は整数にならないのです！

　証明自体は易しいですが、ぼくは言われるまでこういう事実があるとは知りませんでした……。