この証明、調整中
やはりうまくいってない……
前に書いた文章も使いながら、今回は正しい証明を示します！！！ 記号は多少変えたので、前の記事をご覧になった方はご注意を。比較のために前の記事は残しておきます！
を収束する正項級数とします。皆さん「明らか」と思っているからなのか、タイトルの「正項級数はどこからどう加えても和は一致するか」についての話はあまり見かけません。もう少し具体的には、「正項級数は、どう並べ替えても、その上でどこにどう括弧をつけても（括弧は有限個でも無限個でもよく、カッコ内の項数は有限個でも無限個でもよい）和は変わらない」ということについての議論をあまり見たことがありません。ずっと気になっていたので、ここでハッキリさせておきます。単に並べ替えた数列に関しては和は一致することは様々な微積分のテキストで証明されています。微積分の本に載っています。この事実は使わせてもらいます。
さて、問題の正項級数から項を自由に選んで和をつくり、括弧をつけて
（…………）＋（…………）＋（…………）＋……………… （★）
という和を考えてみます。もちろん1回選んだ項はもう選べませんし、選ばない項があってはなりません。こうしたとき、この和はもとの和と一致するのでしょうか。なお、各括弧内は収束です。収束する正項級数から取り出したのだから上に有界、単調増加だからです。
下のように級数を並べましょう。1行目（横の並び）には最初の括弧の内容を、2行目には次の括弧の内容を、……とするのです。
なお、横の並びは無限項とは限りません。有限項なら0を補います。
これが
に等しいことを示すのが仕事です。
さて、各区画に名前をつけ直します。
これは要するに表の左上の正方形の中にある項の和です。赤い部分は逆L字型に項の番号が増えるようにしています。さて、
とおきましょう。
このとき、与えられた小さな ε に対し、Nを十分に大きくとればｎ＞Nなるｎに対しては
とすることが可能です。各段で同様の不等式が成立です。ただ ε に対して必要なNはいろいろでしょう。そこで、それらの最大値をあらためてNとします。このとき n > N なるｎに対しては
が成立です。これは
が0に収束することを示しています。なお、もとの級数の和は項を並べ替えても変わらないことに注意してください。
ふー、もう少し記号をちゃんとしたかったですが、意味は通ると思うのでここまでにしておきます。
2020年7月10日(金)
さらに変更しました……。
