オイラーの定数について書きます。
上の図で、ｘ＝1からｘ＝ｎまでの、ｘ軸とｙ＝1／ｘのグラフで囲まれた部分の面積は
で、黄色い部分の面積（短冊ｎ－1本の面積）は
です。短冊の和の方が面積は小さいので
が成立します。
同様の比較で
が言え、この2つの不等式から
……（★）
を得ます。ただしｎ≧2です。
今、
とおけば
……（★★）
です。
上の図で面積を比較して、（曲線図形GHEF）－（曲線図形GHCA）＞（長方形ABEF）が分かります。式では
となり、これを（★★）に用いて
を得ます。すなわち、この数列は単調減少です。
また、★から
が言えます。これはこの数列がどの項も正であることを示しています。
この数列の極限値をオイラーの定数と言います。定義も易しく、収束の証明も特に難しいということはありません。しかし不思議なことにオイラーの定数は有理数か無理数かすら分かっていないとのこと。数学には未解決の問題がたくさんあります！！
