ベクトルの転置（転置行列。ベクトルも行列の一種です）は次のように定義されます。成分は3個にしましたが、何個でも同様です。
さて、今ベクトル a, b, c が次のようであるとしましょう。
このとき
を次の2通りの方法で計算してみましょう。
どちらも結果は同じ。しかし、2つ目は？ こういう計算をしてよいのでしょうか。kを実数、aをベクトルとして、ka はベクトルの実数倍として定義されていますが、そもそも ak の定義はありません。
そう言えば、工学の本などで、ベクトル a, b（どちらも1行3列） の内積を
と書いたりするのです。要するに内積を行列の積として計算しています。これ、よいのでしょうか？ 「内積はベクトルではない。スカラーなのだ」と強調されることがあります。この計算は行列の積を計算しているのだから結果は行列。（1行2列）×（2行1列）＝（1行1列）の行列なんですね。これは「スカラー」ではありません。だから、そういう意味ではやってはいけない計算（行列の積で内積を求める）です。しかし、今まで「スカラー」と思っていたものは実は1行1列の行列なのだ、と考えればよいだけのことですよね。最初の問題も、右から39をかけるのはダメだけれど（39は行列ではないから）、1行1列の行列、[39]だと思えば解決です。つまり
という計算をやっているのだ、と思えばよいのです。行列のかけ算、ABでは、Aの列の数とBの行の数が等しくなければなりません。しかし上の計算ではちゃんと一致しています。（2行1列）×（1行1列）です。こうしたことが分かっているなら、「・39」と書いてしまってもよいかも知れません。何も考えずに計算していてはまずいと思いますが。
