以前、変数が2つのときのラグランジュの未定乗数法について書きました。www.omoshiro-suugaku.comwww.omoshiro-suugaku.com
今回は変数が3つのときの話です。
制約条件 g(x, y, z) = 0 ……①（図の例では球） , h(x, y, z) = 0 ……②（図の例では平面） のもとで、f(x, y, z) の極値を求めます。 ①かつ②の表す図形は空間内の曲線（図の例では球と平面の交線の円）です。空間内の曲面、f(x, y, z) = c は、c をジワジワ増やすと（減らすと） ジワジワ動きます。そして、それがこの例では交線の円に接するとき、f(x, y, z) は極値を取ります（例えば、c をジワジワ増やしていって円に接したなら①、②は同時に満たされるわけで、しかもｃは極小値）。∇ｆ、∇ｇ、∇ｈはそれぞれ曲面 f(x, y, z) = c、 g(x, y, z) = 0 、h(x, y, z) = 0 の法線ベクトルなのでしたから、 f(x, y, z) = c が交線の円に接するときには ∇ｆ は ∇ｈ、∇ｇ の作る平面と平行のはずです。つまり ∇ｆ＝λ∇ｈ＋μ∇ｇ が成立するはずです。これと g(x, y, z) = 0 、h(x, y, z) = 0 を連立すればｆの極値の候補を与える (x, y, z) が求まります。
この解説はほぼ金谷先生のテキストによります。何回読んでも勉強になる素晴らしい本です。
