モンティ・ホール問題というのを紹介しましょう。モンティ・ホールというのは人名です。この人が司会を務めるアメリカの番組で話題になった問題なのでこう呼ばれるようになったのだそうです。次のようなものです。
－－－－－－－－－－－－－－－－－
3つの箱Ａ，Ｂ，Ｃのうち1つだけに賞品が入っていて、挑戦者は賞品入りの箱を当てたら賞品がもらえます。箱は次のように2段階で選びます。
（1）まず挑戦者は3つの箱からどれか1つを選びます。
（2）次に、アタリを知っている司会者が、挑戦者が選んでいない箱のうち賞品の入っていない箱1つを開けてみせます。ただし、挑戦者が（1）でアタリの箱を選んだ場合は、残りの箱からランダムに1つを選んで開けるとします。このあと挑戦者は箱を1回選び直せます。司会者が開けた箱以外から、です。
さて、挑戦者は最初にＡを選んだとします。司会者はそれを見て「Ｂは空です」とＢを開けて見せました。このあと挑戦者はＡのままか、あるいはＣを選ぶことができます。どちらを選べばよいでしょうか？
－－－－－－－－－－－－－－－－－
ちょっと考えるとＡ、Ｂ、Ｃどれに賞品が入っている確率も同じ1／3で、最初に挑戦者が何を選ぼうが、司会者がＢを開けて見せてくれようが、確率に影響はない気もします。つまりＡを選んでもＣを選んでも当たる確率は同じに思えます。しかし、実は挑戦者はＣを選ぶのがよいのです！ 司会者がＢを開けて見せた段階で、Ａが当たる確率は1／3、Ｃは2／3となります。これはベイズの定理を使うと計算できます。が、教科書には載っていません。そこで一応これを使わない説明と、使う説明の2通りをしてみます。
説明1
Ａ、Ｂ、Ｃのどれも、もとは当たる確率は1／3です。挑戦者はＡを選びました。Ａが当たる確率は1／3、ＢかＣが当たる確率は2／3です（Ｂが当たる確率とＣが当たる確率の和）。司会者はＢを開けてはずれであることを教えてくれました。ＢかＣが当たる確率は2／3で、Ｂははずれと分かったのですから、Ｃが当たる確率がそのまま2／3となりました。これでＡが当たる確率は1／3、Ｃが当たる確率は2／3となったので、挑戦者はＣを選べばよいのです。化学の先生に聞いた説明です。
説明２
説明2ではベイズの定理を使います。次の表で、「A当」は事象「Aが当たり」を表し、「B開」は事象「Bが開けられる」を表します。
このとき、Bが開けられたときのAが当たる確率は次の式で求まります。これがベイズの定理です。
なおベイズの定理については前、このブログで解説しました。
問題の確率は
なので、あ、いを計算すればベイズの定理に従ってあ／(あ＋い)求められます。
よって
これで分かりました。Aが当たりである確率は1／3、Cが当たりである確率は従って2／3です。Cを選ぶのがいいんですね。
確率が苦手な人と得意な人がいます。なんとなくの感じですが、賢い人は確率が得意な印象……。ちなみにぼくは他の分野に比べて苦手です……。
