いぬおさんのおもしろ数学実験室

おいしい紅茶でも飲みながら数学、物理、工学、プログラミング、そして読書を楽しみましょう

ベイズの定理を使いやすく! ちょっと不思議な事実も紹介。

 ベイズの定理を使う問題を見てみましょう。

問1

袋Aには赤球3個、白球2個、袋Bには赤球2個、白球4個が入っている。AからBへ目をつぶって球を1個移した。
(1)Bから1個取り出すとき、赤球が出る確率を確率を求めなさい。
(2)Bから1個取り出したところ、それは赤だった。AからBへ移された球が赤である確率を求めなさい。

解答

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こんな表を作ると分かりやすいでしょう。Rは赤(Red)、Wは白(White)を表します。例えば、RがAからBへ移り、BからWが出る確率は「」に書いてあるのです。乗法定理から(3/5)×(4/7)です。Bから玉を取り出すときにはすでに赤が1個増えているのですから、そのときBから赤が出る確率は4/7です。これらの確率をかければよいのでした。(1)は、とにかくBから赤が出る確率ですから、「BからR」の列の和を求めればよいのです。つまり「」が答えです。(2)はちゃんと解くにはベイズの定理によるわけですが(ある程度正確な)イメージで解いてよいなら、今「」が起こっているのですから、そのうちの「」が起こる確率は /()となります(ベイズの定理から出てくる式もこれです)。ちょっと計算すれば9/13となることが分かります。

問2

1万人に1人が罹患している病気がある。ある検査は確率97%の正確さでこの病気にかかっているかどうかを判定できる。今、陽性と判定(「かかっている」と診断された)された人がいる。この人が実際に病気にかかっている確率を求めなさい。

解答

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今、「」が起こっているのですから、そのうちの「」が起こる確率は /()となります。

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よって、97/30094、つまりおよそ1/300です。あまり心配はいらないということなんですね。

 問題によってはとか、を使うこともあります。またこの問題ではそもそもの欄は不要でした(問1も)。念のため書いておいただけです。

 

 問2はちょっと意外で面白い結果です。不思議です。