マクローリン展開というのがあります。高校生の頃、
というのを見て衝撃を受けました。関数によっては（というか、大抵は）値を求めるのは難しい。指数関数も三角関数もそうです。しかし、マクローリン展開を使えば（関数電卓ではない、普通の）電卓で計算できる。これは凄い、と思ったのです。雑な証明でよければ、指数関数を係数が不明のｘのべき級数で表しておいてこれを繰り返し微分することでマクローリン展開はすぐ得られます。無限項の和を微分してよいのか（項別微分してよいのか）など、厳密なことは高校生の頃は知りませんし（そういうことを気にしなければいけない、という発想自体がない）、そうすると展開式を導くことは楽なのです。高校でも元気な（？）先生が理系の生徒に授業で説明することは珍しくないでしょう。「数学って凄い！」と宣伝するのによいテーマなのかも知れません。
大学に入り、最初に微積をたたき込まれるわけですが、そこですぐにテイラー展開、マクローリン展開が出てきます。そのとき「本当にこんな展開をしてよいのか」厳密に考えなければいけないのだ、と反省を迫られます。そこでまた「おお、なるほど！ 今までは雑に考えていた！！」と、これも衝撃でした。
ちゃんと議論するなら……
をマクローリンの定理と言います。最後の項は剰余項と言い、ｘの整式とは限りません（大抵違う）。これがｎ→∞のときに0に収束すれば先のマクローリン展開が可能、ということになるのでした。剰余項は実は次のように表せます。
これが0に収束することを示しましょう。そのため、まず次の事実を証明しておきます。
（証明）
となるNが存在するはずです。これより
が成立。よって
これより
よって
（証明終わり）
剰余項の式から
よって
なので、先の定理より
が成立します。
なお、ｎが変わると剰余項のθも変わることに注意しましょう（証明ではθ、θ’としている）。また、ｎが変わっても0＜θ＜1であることは変わりません。これにも気をつけてください。
さあ、これで堂々とマクローリン展開できるようになりました！！ 高校で話すときには「実は本当にこういうことをしていいのか、それは大学で習います」とつけ加えてもよいでしょう。夢のある話ですから、取り上げるのはよいことだと思います。
