半径1の円周上に間隔1で無数に点を打つと、どんなに短い弧の上にも点がある

　半径１の円があります。円周は2πですね。円周上に定点Ａをとります。Ａをスタートし、円周上を（円周に沿って）距離１ずつ左回りに回る点Ｐを考えましょう。Ａから始め、円に沿って距離1だけ回ったところの点を $P_{1}$ 、そこから距離1だけ回ったところの点を $P_{2}$ 、……とするわけです。もちろん点は無数に決まります（なぜか？　以前に打った点に一致してしまうことはないのか？）。さて、このとき、円のどんなに短い弧の上にも、必ずＡ, $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ ,……のうちのどれかが乗っていることを証明してください。

　意味が取りにくいかも知れません。円周の一部、非常に短い弧を考えます。例えば長さ0.001の弧です。その上には例えば点 $P_{28}$ があります。別の、長さが0.0000003の短い弧を考えます。この上にも例えば $P_{176}$ が乗っているのです。どんなに短い弧の上にも点が乗っていることを示して欲しい、ということです。ある数学の本に「証明されている」とだけ書いてあって、証明自体は載っておらず、しばらく考えさせられました。「自分で考える！」という元気のある人はこの先は読まず、自分で答えを出してから見てください。

　さて、証明です。背理法でやります。円周上のある弧ＸＹの上にはＡ, $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ ,… …のどの点も乗っていないと仮定します。そして、矛盾を導けばよいのです。弧ＸＹの長さを0.1とでもしておきましょう。Ａ, $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ ,……の中には、必ず距離が0.1未満の2点があるはずです。点は無数に打つのですし、同じ位置には打たれませんから、「どの2点も距離は0.1以上」は成立しないのです（そうでないと、点が有限個になってしまう）。そこで、その2点を例えば $P_{102}$ , $P_{245}$ としましょう。この2点間の距離は0.1未満、例えば0.09とします。 $P_{102}$ に続き143点打てば距離0.09だけ離れた点 $P_{245}$ を得られるわけです。すると、そこからさらに143点打てばまた距離0.09離れた点 $P_{388}$ を得ます。こうして距離0.09ずつ離れた点を打っていけば、いずれは弧ＸＹにたどり着きます。そのとき、弧ＸＹの長さは0.1、打つ点は間隔0.09なのですから、弧ＸＹの上に点が打たれてしまうはずです。これは「弧ＸＹ上には点が打たれていない」という仮定に反します。以上です。