タイトルだけだと分かりづらいですね。ちゃんと書きましょう。
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長さ１の、伸び縮みしないひもが２本あります。ひも上には０から１までの目盛りが細かく打たれています。一方を図のようにグニャッとさせ（こちらをひもBとする）、他方はまっすぐにしておきます（ひもA）。このとき、どのように「グニャッと」させてもひもA、B上の目盛りが上下で一致する点がどこかにあります。これを示してください。ただし、ひもBをグニャッとさせるのはひもAの左端と右端の間に収めるとしておきましょう。
例えば図で点P、Qは目盛りがどちらも0.3で一致しています。このような点が存在するということを証明してください。
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早速証明。図で、ｙ＝ｆ(ｘ)とおきましょう。ひもB上の目盛りからA上の目盛りを求める関数です。まず、ｆ(0)＝ａ、ｆ(1)＝ｂで 0＜ａ＜ｂ＜1 であることを確認してください。
Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｘ とおきます。2本のひもの目盛りのズレをこれで調べます。ひもを「グニャッと」させたのだから、ｆ(ｘ)は連続関数（グラフが途切れない、ということ）です。だからＦ(ｘ)も連続関数です（連続関数ｆ(ｘ)、ｘの差だから）。
Ｆ(0)＝ｆ(0)－0＝ａ＞0
Ｆ(1)＝ｆ(1)－1＝ｂ－1＜0
なので、中間値の定理（記事の最後に定理を書いておきました）より0と1の間にＦ(ｃ)＝0 となるｃが存在します。つまりｆ(ｃ)－ｃ＝0。よってｆ(ｃ)＝ｃ となり、これが存在を示したかった目盛りでした。
中間値の定理：
閉区間 [a, b] 上で定義された連続関数ｆ(ｘ)があり、ｆ(ａ)＜0、ｆ(ｂ)＞0 ならば(a, b) 内にｆ(ｃ)＝0 となるｃが存在する（不等号は2カ所の向きを入れ替えてもよい）。
中間値の定理、何となくでよいならほぼ当たり前っぽいですよね……。高校では「当然の事実」とした扱います。証明は大学の数学科で教わりますが、実数の性質に関する深い考察が必要です。
