グラフが下に凸であることを利用した、不等式の証明

　以前、こんな記事を書きました。

ノットイコールの書き方を注意された - いぬおさんのおもしろ数学実験室

その中でこういう問題に触れました。

右側の不等号が成立することは下の図から明らかです。一般に、下に凸のグラフがあれば

が成立するのです。

　変数が3つでも同様の式が成立します。３角形の重心はその３角形の周上か内部にありますから、下の図から以下の不等式が成立します。

例えば、次が成立するのです。

まともに計算して証明しようとすると大変かも知れませんが、グラフが下に凸であることを使うと簡単で、成立の理由もはっきり分かる、しかも異なる関数でも（条件さえ守っていれば）一気に証明できる。そういう話でした。