三角関数の導関数の話をするとき、最初に出てくる極限値があります。次です。
ｘ＞0と考えれば十分です（ｘ＜0のときはｘ＝ーｔとおけばｔ＞0となるので）。
図で、△OBD＜扇形OBD＜△OBA が成り立つので面積の公式から
が成立です。ここでｘ→0とすればはさみうちの原理から最初の極限値の式が分かります。
……と、高校ではこんな感じで説明するかも知れません。しかし、何だかおかしくありませんか？ そもそも面積は積分で定義されるのでした。だから微積分の話を始めるのに必要な極限値の計算に面積を使ってはまずいでしょう（循環論法！）……。
高木先生の『解析概論』では BD＜弧BD＜AB を簡単に示して sin x < x < tan x を導き、逆数をとって……とやっています。BD＜弧BD の部分はよいのです。弧BDの長さは内接する折れ線の長さの総和の上限と定義されているので（例えば下の図で、折れ線の長さの和≦弧の長さ）、BDよりも弧BDの方が長い（以上）はずです。上限というのは、ちょっと違いますが最大値と思えばいいでしょう。ところがふたつ目の不等号も一緒に「弧長の定義からの当然の帰結」とあるのです。ぼくには「当然の帰結」には見えません……。『解析概論』の図は tan x の部分が違っていますが、実質同じです。念のため。
サイトを見るといくつか、面積を使わずに 弧BD＜AB を示している記事があります。なるほど……という感じ。みなさん、すごいです。
ただ、考えてみれば「上限」と言ったって、それは確かに定まりはするけれど実際に求められることとは別ですし、弧BDは長さｘでいいのか（中心角がｘなので弧長ｘ。しかし折れ線の長さの和の上限はどこへ行った？）を始めとしてあっちにもこっちにも「これ、使っていいの？」というのがあり、不安で仕方ありません。本当に疑いのない理屈で攻めたいなら sin x を無限級数で定義し、……とかしなければならないのかも知れません。……もう手に余るので本日はここまで！
