Ａ＝｛20ｍ＋16ｎ｜ｍ，ｎは整数｝、Ｂ＝｛12ｒ＋8ｓ｜ｒ，ｓは整数｝とします。このときＡ＝Ｂが成立します。これを示しましょう。
例えば36はＡにもＢにも属します。36＝20・1＋15・1、また36＝12・3＋8・0だからです。ある数が集合Ａに属するかどうかはその数が 20×(整数)＋16×(整数) という形に書けるかどうかで決まります。
さて、Ａ＝Ｂつまり2つの集合が等しいとはＡ、Ｂの要素が一致していることです。これでちゃんとした定義なのですが、具体的な集合を相手にしたとき、この定義によってＡ＝Ｂを示すのが難しいケースがたくさんあります。そこで、
Ａ＝Ｂ ⇔ Ａ⊂Ｂ かつ Ａ⊃Ｂ
を使うのです。これ自体が正しいことはよいでしょう。
まずＡ⊂Ｂを示します。ｘ∈Ａ、つまりｘ＝20ｍ＋16ｎ（ｍ、ｎは整数）とします。このｘをｘ＝12×(整数)＋8×(整数) と表せればＯＫです。 ｘ＝(12ｍ＋8ｎ)＋8ｍ+8ｎ=12m+8(m+2n) なので確かにｘ∈Ｂです。よってＡ⊂Ｂが分かりました。次にＡ⊃Ｂを示します。ｘ∈Ｂ、つまりｘ＝12ｒ＋8ｓ（ｒ、ｓは整数）とします。目標はｘ＝20×(整数)＋16×(整数)と表すことです。
ｘ＝20ｒ＋16ｓー8(ｒ＋ｓ)
＝20ｒ＋16ｓー(40(ｒ＋ｓ)ー32(ｒ＋ｓ))
＝20(ｒー2ｒーｓ)＋16(ｓ－2ｒ－2ｓ)
よってｘ∈Ａです。1行目から2行目の変形は、8(ｒ＋ｓ)を20の倍数と16の倍数の差で書けないかな、と考えてやってみました。
以上からＡ＝Ｂが分かりました。
Ａ＝Ｂを直接示すより当然Ａ⊂Ｂを示すのは楽なはずです。緩い条件だからです。もちろんＡ⊃Ｂも示さなければなりませんが、Ａ＝Ｂをいきなり……よりやりやすいのだと考えられます。高校ではこうして2つの集合が等しいことを示す機会はあまりありません。でも大学ではたくさん出てきます。そういうときは大抵Ａ⊂Ｂ、Ａ⊃Ｂを示すのです。
実はａ，ｂが自然数であるとき、集合｛ａｍ＋ｂｎ｜ｍ，ｎは整数｝はａ，ｂの最大公約数の倍数全体の集合であることが分かっています。この事実を使ってよいなら最初の等式はすぐ分かります。
