前、こういう記事を書きました。
合同式の話を少し前に書いたので、続きということでこの問題を合同式で解いてみます。まず次の定理を準備しておきます。
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ｍ、ｎの最小公倍数がＬのとき、
ａ≡ｂ（mod m）かつａ≡ｂ（mod n）⇔ａ≡ｂ（mod Ｌ）
証明：
文字は整数です。
（右向き）ａ－ｂ＝ｋｍ、ａ－ｂ＝ｊｎよりａ－ｂはｍ、ｎの公倍数です。従ってａ－ｂはＬの倍数です。
（左向き）ａ－ｂ＝ｋＬとすると、ｍはＬの約数ですからａ－ｂはｍの倍数ですし、ｎはＬの約数ですからａ－ｂはｎの倍数です。
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さて、これで準備完了、もとの問題を載せておきます。
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自然数ａは3で割ると1あまり、5で割ると2余り、7で割ると3余る。ａを105で割った余りはいくつか。
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この問題は合同式を使って書くと
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a≡1（mod 3）……①, a≡2（mod 5）……②, a≡3（mod 7）……③のとき、
a（mod 105）を求めよ。
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となります。①、②から
a≡7（mod 3）, a≡7（mod 5）です。言わば剰余をそろえたのです。先の準備の定理を使えばこの2つの式は a≡7（mod 15）……④と同値です。
この④と③で、さっきと同様に剰余をそろえます。③より a≡52（mod 7）、④より a≡52（mod 15）なので、再び最初の定理により a≡52（mod 105）です。これで分かりました。a を105で割ると余りは52です。
見通しはよくなった、と言っていい気がします。いろんな解き方があるものです。
