正の有理数全体の集合をQ＋としましょう。Q＋は可算集合です。つまり、正の分数全体に1番、2番、3番、……と番号をつけることができます。まずこれを示しましょう。前の話に従うと「NとQ＋は同じ濃度である」ということです。 平たく言うと、正の分数は自然数と同程度の数しかない、ということです。
こんな表を作ります。この表には正の分数（正の有理数）が全て、どこかに現れています。
これら正の有理数たちに番号を振ります。
赤い線の順に、有理数に1番、2番、……と番号を振ってゆくのです。途中、1／1と2／2や1／2と3／6のように同じ分数が現れますが、同じものが出てきたら番号はつけずに飛ばすことにします。これでQ+はNと1対1に対応がつき、濃度が同じだと分かりました。
続きです。可算集合Aに有限個の要素を追加してもやはり可算です。実際、
に例えば3個の要素ｂ，ｃ，ｄをつけ加えると
になり、Ｂの要素に改めて先頭から1，2，3，……と番号がつきますから分かります。さらに可算集合Ｃを用意します。
このときＡ∪Ｃも可算集合です。
なので、改めて先頭から順に1番、2番、……と番号をつけられるからです。
負の有理数全体の集合Ｑ－はＱ＋と同様、可算集合ですから、上に書いたことより(Ｑ＋)∪(Ｑ－)は可算集合です。すると再び上に書いたことよりＱ＝(Ｑ＋)∪(Ｑ－)∪｛0｝は可算集合です。
実数全体の集合Ｒは実は可算集合ではありません。可算集合より言わば「要素がたくさん入っている」集合なのです。不思議な話です……。
