3人がそれぞれプレゼントを持って集まりました。3個のプレゼントを目をつぶってでたらめに混ぜ、3人に配り直します。自分の持ってきたプレゼントが自分に配られることもあります。前回、誰も自分の持ってきたプレゼントを受け取らない確率を求めたのでした。Aをａさんが自分のプレゼントを受け取ってしまう配り方全体の集合だとします。Ｂ、Ｃも同様です。このとき誰かが自分のプレゼントを受け取る配り方全体の集合はＡ∪Ｂ∪Ｃで、要素の個数は
となります。この値を配り方の総数3！から引けば誰も自分のプレゼントを受け取らない場合の数が求まります。これを3！で割れば確率が求まります。……ということでした。
ｎ人だとどうなるでしょうか。このとき誰も自分のプレゼントを受け取らない場合の数は
です。これをｎ！から引いてｎ！で割ると
となります。これはｎ人が誰も自分のプレゼントを受け取らない確率です。
ところで、
が成立するのでした（マクローリン展開）。ｘはどんな値でも収束です。この式でｘ＝－1とおくと
さっきの★と合わせれば、この値は「ｎ人が誰も自分のプレゼントを受け取らない確率」でｎ→∞としたものに一致することが分かります。
100人、1000人、10000人、……と人数を増やすと誰も自分のプレゼントを受け取らない確率は1／ｅに近づくのです！！
