職場でちょっと面白い問題を聞きました。設定を変えて紹介します。
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α製菓、β製菓はどちらもチョコ、キャラメル、ガムを製造しています。今、この2社のお菓子を扱っている店でAさんとBさんがお菓子を1個ずつ買いました。もちろん同じものかも知れません。で、問題です。Aさん、Bさんの少なくとも1人はα製菓のチョコを買ったとします。このとき2人ともα製菓のお菓子を買った確率を求めてください。なお、2人とも3種類のお菓子は同じくらいに好きで、どれを選ぶかはランダムだとします。どちらの会社のお菓子も同じくらい美味しく、2人ともどちらを選ぶかはやはりランダムです。
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α製菓のお菓子を誰かが買ったのは分かっているのです。残る1人がどちらを買うのか、ランダムなのですから確率は1/2のような気もします。実際にはどうなんでしょうか。
事象を次のように置きます。
Aα:Aさんがα製菓のチョコを買う
Bα:Bさんがα製菓のチョコを買う
このとき、求めるものは「AαまたはBαが起こったときの、2人ともαである条件付き確率」ですから、記号で書けば次の通りです。
乗法定理を使えば次のようになります。
分子、分母を求めればOKですが、次のようにしてもいいでしょう。
分母は、Aα(Aがαのチョコを買う)であるときはBがどこのどんなお菓子でもよいのですから2×3=6通り、Bαであるケースも同様に6通り。Aα∩Bαのケースは2重にカウントされていますから結局分母のケースは6×2-1=11通り。
分子は、AαのときはBはαであればよいので3通り、Bαのときも同様に3通り。重複している1通りを引いて5通りです。
以上から
です。
1/2より小さくなるんですね。最初に聞いた話は誕生日がテーマになっていて、そちらの方が不思議な感じがするんですが、まあいいでしょう。