アインシュタインの規約を用いてもう少し定理を証明してみます。その前に、まずは行列で見てみましょう。
基底を入れ替えたとき、係数はどう変わるでしょうか。次の問題を考えます。
これで一応、分かりました。
これをアインシュタインの規約を用いてやってみます。前にブログで解説しました。復習してください。
さて、仮定は次の①、②です。
間をつめ、指標をkからjに変えましょう。
これを②へ代入し、式変形します。
以上で係数が明らかになりました。
もちろん出てくる結果は同じです。でも行列を直接使うとどうしても成分を並べて書かなければならず、大変です。慣れればアインシュタインの規約を使った方がずっと楽ですよね。
今回の証明は前々回のブログで紹介した『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』に載っていました。ぼくは第3章「テンソルと直線座標のテンソル場」から読んでいます。分かりやすいです。この冬休み中にある程度読むつもりです。
しかし……本は安いです。外でご飯でも食べれば1回で1000円。映画を見れば2000円。専門書かそれに近い本は何ヶ月も楽しめて、せいぜい2000円とか3000円とかです。新書などはもちろんアッという間に読み終わってしまいますが、それでも安い……。
