平面の方程式について考えましょう。下の図の平面のベクトル方程式は次のように書けます。Ｏは位置ベクトルの原点です。
p = a + tu + sv
点Ｐの位置ベクトルはｔ，ｓをうまく決めてやれば右辺のように書ける、ということですね。
ｘ、ｙ、ｚ軸を考えましょう。下は平面ｙ＝ｙ1です。
これはｚｘ平面と平行な、点Ａを通る平面です。平面αと平面ｙ＝ｙ1の交線が下の図のようだったとします。
↑ 平面ｙ＝ｙ1です
このとき、交線の方向ベクトルはｕ＝（1，0，ｍ1）となります。同様に平面αと平面ｘ＝ｘ1との交線の方向ベクトルはｖ＝（0，1，ｍ2）となります。このｕ、ｖとａ＝（ｘ1，ｙ1，ｚ1）を最初の式に代入して少し式変形すると次を得ます。
まとめると、これが（ｘ1，ｙ1，ｚ1）を通り、ｚｘ平面との交線のｚｘ平面上での傾きがｍ1、ｙｚ平面との交線のｙｚ平面上での傾きがｍ2である平面の方程式です。
上の式自体はあまり見たことはないかも知れませんが、平面で（ｘ1，ｙ1）を通り、傾きがｍである直線は
ｙーｙ1＝ｍ（ｘーｘ1）
なのですから、覚えやすい式ですよね。空間内のこの平面の式は全微分についてまとめようとしているときに出てきました。これについてもちゃんとまとまったら記事を載せます。
