Ａ高校の生徒数を1000人としておきましょう。4月8日の遅刻者をｘ人とするとその日の非遅刻者は1000－ｘ人ですね。遅刻したｘ人は担任に怒られて翌日はその9割が非遅刻者になるとしましょう。残る１割は懲(こ)りずにまた遅刻します。そして4月8日の非遅刻者1000－ｘ人のうちの2割は油断して翌日に遅刻し、残る8割が遅刻しないと仮定しましょう。つまり翌日4月9日の遅刻者をｙ人とすると
ｙ＝0.1ｘ＋0.2(1000－ｘ)
ということになります。実際には人間の行動はそんなに単純ではありませんが、数学の話、仮定です。さて、問題です。4月8日の遅刻者は50人、非遅刻者は950人だったとしましょう。Ａ高校では上の法則で遅刻者の人数が変化するとして、100日後の遅刻者数を求めてください。
「ｎ日後の遅刻者数」だと数学Ｂの数列の知識が必要です。今回は100日後の遅刻者数を求めるだけにしておきましょう。6日目まで遅刻者数の変化を見てみると、
1日目 50人
2日目 195人
3日目 180.5人
4日目 181.95人
5日目 181.805人
6日目 181.8195人
というわけで、アッと言う間に182人くらいに落ち着いてしまいます。100日も経つと毎日の遅刻者数はほとんど変化しないのです（数学の言葉で「遅刻者数は収束する」と言う）。これをちゃんと示すには数学Ⅲの知識を使わなければなりません。ここではこの「収束する」という事実は認めてしまいましょう。すると、問題はいきなり簡単になります。100日後の遅刻者をｘ人とし、これが101日後で変化なし（遅刻者はやはりｘ人）とすると、枠で囲った式から
ｘ＝0.1ｘ＋0.2(1000－ｘ)……★
が成立します。展開してｘについて解けばｘ＝181.8181…、つまり182人くらいということになります。この場合、200日後でも300日後でも182人です。いったん遅刻者数が安定したら、以降はそのままになるのです。しかも、解き方をよく見てください。人数を求めるのに使った★の式には最初の遅刻者数が入っていません。これは、最初の遅刻者が1人でも500人でも100日後には182人になる､ということを意味します。
この問題に関しては、数学にマルコフ過程というのがあります。
