正多面体の話です。正多面体とは、合同な正多角形を貼り合わせてできあがる立体のことです。正多角形というのは正３角形、正方形、正５角形…のこと。図は全て正多面体です。
実は正多面体にはこれだけの種類しかありません。例えば正100面体などはないのです。なぜなのか、今回はこれを証明してみましょう。
正多面体のひとつの頂点に正ｐ角形の頂点がｑ個、集まっているとします。例えば正6面体（立方体）では正4角形（正方形）の頂点が3個、集まっています（ｐ＝４，ｑ＝３）。中学校で習っていると思いますが、ｐ角形の内角の和は
(ｐ－２)×１８０°……①
です。①を示すのは簡単で、例えば5角形は3個の3角形に切り分けられますから３×１８０°だし、6角形は4個の3角形に分けられるから４×１８０°ということ。さて、そうすると正ｐ角形のひとつの内角は①をｐで割って
とわかります。ここで、傘の先っぽを考えてみましょう。1カ所に角がいくつか集まっていますね。傘の骨に沿ってはさみを入れて平面に並べてみると、集まった角の和は３６０°には足りないことが分かります（想像してみてください！）。つまり、上の②をｑ個集めても３６０°未満なわけで、
が成立します。この式を整理すれば
を得ます。ここでｐ，ｑ≧３であることに注意しましょう（「2角形」なんてないし、多面体の頂点に2個の角が集まっている、ということもあり得ない）。仮にｐ＝３として★に代入すると
よって
従ってｑの可能性としてはｑ＝３，４，５しかありません。同様に、★でｐ＝４とするとｑ＝３、ｐ＝５とするとｑ＝３となることがすぐ分かります。そして★はｐ≧６では成立しません。例えばｐ＝６だと
から
となってしまうからです。ｐをある程度以上大きくすると★の左辺が小さくなりすぎて不成立、ということです。以上、まとめると
ｐ＝３のときｑ＝３，４，５、（正３角形が３個か４個か５個集まる）
ｐ＝４のときｑ＝３、（正方形が３個集まる）
ｐ＝５のときｑ＝３（正５角形が３個集まる）
となります。つまり、正多角形はあったとしてもせいぜい５通りなのです。そして実際に存在して、それが順に正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体なのです。
この証明は『正多面体を解く』（一松信2002東海大学出版会）によっています。
ぼくはこの証明を初めて読んだとき、すごく不思議に思いました。空間の中の立体が存在するかしないかが、こんな分数同士の大小で決まるんだ、と。不思議だけど、仕方ありません。世界がそうできているとしかいいようがないのです。
