リシャールのパラドックス - いぬおさんのおもしろ数学実験室

　リシャールのパラドックスというのを紹介しましょう。パラドックスとは、正しそうな仮定、正しそうな理屈なのに出てくる結果がおかしい、そんな議論のことです。自然数ｘに関する条件は無数にありますが、それを残らず考えます。条件には1番から順に番号をつけましょう。例えば、
1番：ｘは方程式ｘ＋２＝16の解である
2番：ｘは素数である
3番：ｘ＞8
4番：ｘは6桁の数で、10の位の数字は5である
………
のように。2番の条件を満たすのは2，3，5などの自然数です。3番を満たす自然数は9，10，11，……です。2番の条件は「ｘは素数である」ですから、条件の番号である自然数2はこの条件を満たします（2は素数です）。自然数3は8以下ですから、3番の条件を満たしません。自然数4はひと桁ですから、4番の条件を満たしません。この自然数3や4のように、その番号の条件を番号の自然数が満たさないとき、その自然数はリシャール数である、と言うことにします。つまり3，4はリシャール数です（1もリシャール数です）。ここで「ｘはリシャール数である」という条件を考えてみましょう。これも自然数に関する条件ですから先の並びの中にあるはずです。番号は分かりませんが、ｋ番だとしておきましょう。すなわち、
ｋ番：ｘはリシャール数である
ということです。ここで問題です。ｋはリシャール数でしょうか。仮にｋがリシャール数だとすると……？？　ｋがリシャール数であるとは、自然数ｋがｋ番の条件を満たさないこと。ｋ番の条件は「ｘはリシャール数である」なのだから、つまりこの条件を満たさないｋはリシャール数ではありません。これは「ｋはリシャール数だとしたら」という仮定に反します。ではｋはリシャール数ではないということでしょうか。ｋがリシャール数でないとすると、ｋはｋ番の条件を満たします。ｋ番の条件は「ｘはリシャール数である」なのだから、ｋはリシャール数であることになり、やはり仮定の「ｋはリシャール数でない」に反します。こうして、ｋはリシャール数だとしてもリシャール数でないとしても矛盾です。もうどうにもなりません。これをリシャールのパラドックスと呼びます。
　ゲーデルという数学者はこれに似た理屈を使い、数学の中で使われる証明そのものを深く追究しました。その結果、不完全性定理という大変な定理を証明することになります。その内容は平たく言うと「数学の中には証明も反証もできない主張が存在する」ということです。準備して、書いてみたいと思います。『ゲーデル・不完全性定理』－”理性の限界”の発見』（吉永良正1992講談社ブルーバックス）には今回紹介したリシャールのパラドックス、そして不完全性定理についてわかりやすく書いてあります。高校生なら読めると思います。ゲーデルは天才だったのですが、精神的に追い詰められてしまい、生涯を閉じます。その辺の事情も載っています。『不完全性定理とは何か』（竹内薫2013講談社ブルーバックス）というのもあります。こちらも面白かった！