自然数全体の集合をNと書くことにします。N＝｛1, 2, 3, ……｝です。Nと１対１に対応のつく集合を可算集合と呼びます。例えば T＝｛2, 4, 6, ……｝は可算集合です。NからSへの１対１の対応ｆを f(n)＝2n で定義できるからです。平たく言えば可算集合とは要素を１，２，３，……と数え上げることができる集合です。
さて、こういう問題を考えましょう。
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距離ｄをどう与えても、平面のどの点に対しても距離がｄ以下である S の点が存在するように、S の点を平面に配置できるでしょうか。
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要するに平面のどの点のどれほど近くにも必ず S の点が存在するようにして欲しいのです。S は可算集合なので、結局平面に１，２，３，……と自然数を配置するのと同じです。さあ、しばらく考えてみてください！！
…………Thinking Time………………
解答です。自然数ｎに対して、原点を中心にして１辺ｎの正方形を描きます。正方形には格子を入れます。幅１／ｎです。つまり１辺ｎの正方形を、縦横１／ｎの正方形で敷き詰めた感じです。図を見てください。
正方形は(ｎ×ｎ)×(ｎ×ｎ)枚あります。これらの正方形に S の点を１点ずつ置くことにします。正方形内ならどこでもOKです。この操作をｎ＝１，２，３，４，……に対して実行するのです。ｎ回目までで点は
ですから、Sの点が足りなくなることはもちろんありません。また、例えば(13, 20)という点の近く、例えば距離1／100以下にSの点は存在します。ｎ＝200とでもすれば正方形は1辺1／200、もちろん(13, 20)を含む正方形がありますが、対角線の長さ(√2)／200なのでSの点の配置の仕方から距離は(√2)／200以下、従って1／100以下です。
この類いの問題は結構好きで、気が向いたらまた書いてみます。
