数学者ヒルベルトが考えた面白い話です。本来「パラドックス」とは「正しい仮定から正しい推論をしているのに、出てきた結果がおかしい」というものですが、その意味では今回紹介する話はパラドックスではありません。「直感に反している」ぐらいの意味です…

正の有理数全体の集合をQ＋としましょう。Q＋は可算集合です。つまり、正の分数全体に1番、2番、3番、……と番号をつけることができます。まずこれを示しましょう。前の話に従うと「NとQ＋は同じ濃度である」ということです。 平たく言うと、正の分数は自然数…

コロナ騒ぎでじっとしていなければならなくなりました。この先どうなるのか不安はありますが、勉強はしておかないと。ここのところ、何回か書いている「何枚かの写真から立体を再現する」のためにテキストを読んでいますが、その中に「××については参考文献○…

自然数全体の集合をNと書くことにします。N＝｛1, 2, 3, ……｝です。Nと１対１に対応のつく集合を可算集合と呼びます。例えば T＝｛2, 4, 6, ……｝は可算集合です。NからSへの１対１の対応ｆを f(n)＝2n で定義できるからです。平たく言えば可算集合とは要素を…

数学では「無限」をたくさん扱います。自然数（１，２，３，…）は無限個あります。整数（０，±１，±２，…）も、有理数（整数／整数の形の数）も、実数（√２、πなども含む。虚数単位ｉのついてない数のこと）も無限個あります。しかし、同じ「無限個」の中に…