楕円
は、極座標で書くと
となります。ここで各変数は
なのでした。図は下の通りです。
です。F、F’は楕円の焦点です。
もうひとつ、準備。前の記事を参照してください。
というのがありました。⑦は動径方向の運動方程式です。⑨の両辺を2乗してｒで割り、⑦に代入すると次を得ます。
これで準備完了です。
さて、①より
時間で微分して
これに⑨を用いて
両辺を時間で微分して⑨を用いれば
★★を用いて
これを★へ代入して次を得ます。
ここでケプラーの法則を書いておきます。
ケプラーはこの法則が成立することを示しました。
今回の議論では惑星の軌道が楕円軌道であること（第1法則）、動径方向の運動方程式⑦、角の変化の方向の運動方程式を積分した⑨（第2法則）から★★★を導いています（途中、★を導くときに⑦を使っている）。⑦も⑨も中心力の仮定から出てくるのでしたから、結局はっきりしているのは「中心力が働いており、ケプラーの第1法則が成立するなら逆2乗則」ということになります。まとめると次の通りです。
物体に中心力 f(r) が働くとき、もし楕円軌道を描いているならばその中心力は★★★になる。
これもまた面白い結果です。中心力、ケプラーの第1法則からこれだけの事実がでてくるのです。理詰めに考えるというのはこういうことか、と目からうろこが落ちる思いです。
落ち着いて少し検討してみますが、この説明は前回も紹介したテキスト『物理入門コース 力学』に従っており、そこでは「ケプラーの第1法則、第2法則に従う惑星は太陽からの距離 r の2乗に反比例する引力を受ける」と説明してあります。しかし、示されているのは上の太字のように思います。他の本もどうなっているのか、見てみます。
