前、電卓のルートキーで3乗根を求める方法について書きました。
10の3乗根を求めるのに使った式は次です。
この式からは
が出るので、ｘは確かに10の3乗根です。しかしそもそも最初の式はどこから出てきたのでしょうか。このくらいの式なら、まあ少し試行錯誤すれば見つかるかも知れません。でも一応理屈をつけるとしたら、ということで説明してみます。
次も以前の記事です。
これはｘの方程式、ｘ＝f(ｘ)の解（近似解）をコンピュータを使って求める方法でした。大体のところを書くと……
適当な初期値（1とか2とか）からスタートします。例えばｘ＝1としてf(ｘ)を計算します。その結果を再びｘに入れてf(ｘ)を計算します。その結果をまたｘに入れて……と繰り返します。ｆの計算結果がｘに入れた値と等しく（近く）なればｘ＝f(ｘ)ということですから、そのｘが最初の方程式の解（の近似値）です。次々に計算されるｘは、収束する場合もそうでない場合もあります。収束すればその値が解です。……ということでした。
さて、そうすると例えば次のようにしてｘ＝f(ｘ)という形の方程式を得ればよい、ということになります。
もちろんこれで収束するのかどうかは別問題です。つまり、もし収束したらその収束先はａの3乗根である、ということです。しかし、こうしてみると工夫すれば何か自分だけの公式が得られそうですよね。
