続きです。グラフの縦軸の目盛りに関しては別の機会に説明するとして、今回は特に横軸の目盛りの読み方について。まずは基本的な事実を確認しておきます。みなさん分かりきっているからなのか、あまりこういう形にまとめられた資料を見ることがありません。自分で、分かりにくい点を含め書いておきます。
●サンプリング周波数をfsと書くことにする。1秒間にこれだけの回数、波形を相手にサンプリングする。前回の記事のコードでもこれを使っている。
●フーリエ変換では、もとの波形を（定数と）3角関数の和で表す。(定数分)＋(第1次高調波)＋(第2次高調波)＋(第3次高調波)＋……となる。
●具体的な式は以下。
あるいは
ここでｗは基本角周波数。Tをサンプリングされたデータの長さ（時間）としたとき、ｗ＝2π／Tである。Tを基本周期、ｆ＝1／Tを基本周波数と言う。
●第ｎ次高調波では、基本周期をT、基本周波数をｆ、基本角周波数をｗ＝2πｆ＝2π／Tとしたとき
周期＝T／ｎ
周波数（＝1／周期）＝ｎ／T＝ｎｆ
角周波数＝ｎｗ＝2πｎ／T＝2πｎｆ
●各高調波で、sin(2π*□*t)の形に書かれた式の□の部分が周波数
●1秒で fs 回サンプリングするから1回のサンプリングに 1／fs 秒かかる。だからN回サンプリングするにはT＝N／fs 秒かかる。Tは基本周期。T秒間、音が聞こえている。また基本周波数ｆ＝1／T＝fs／N。以下、Nは偶数であるとする。
●サンプリング定理により、サンプリング周波数fsはデータに含まれる最大の周波数成分の周波数の2倍以上にしなければならない（そうしないと、サンプリングしたデータからもとのデータを復元できない）。例えば3000ヘルツの周波数成分を調べたいなら、サンプリング周波数は6000ヘルツ以上が必要。
●FFTで得られる周波数成分は基本周波数ｆ(＝1／T)ヘルツの整数倍。これを「周波数分解能はｆヘルツ」と表現する。より正確な（細かな）周波数成分が欲しければｆを小さくするしかない。ｆ＝fs／Nなので、fsが一定ならNを大きくすればよい（Tを大きくする、と言っても同じ）。
●サンプル数Nのとき、FFTの結果の周波数成分はN個求まる。そのうち、意味のある周波数成分は第N／2－1第N/2次高調波まで。例えばN＝600（600回サンプリング）なら第299次高調波まで。（2022.1.25修正）
●FFTでは第ｎ次高調波の周波数の他、離散フーリエ係数Xn（一般には複素数）が得られる。
従ってｎ＝N/2 に関して（左右で）離散フーリエ係数の絶対値は対称になる。
以上によると今回 N＝300なので（コードの yf = sp.fftpack.fft(y[:300]) という行に注目）、基本周波数は1／T＝fs／N＝600／300＝2ヘルツ。従って第ｋ次高調波の周波数は2ｋヘルツです。使った式は
y = sin(2π*50t)+2*np.sin(2*π*80t)+3*np.sin(2π*100t)
ですから、FFTの結果、50ヘルツ、80ヘルツ、100ヘルツの高調波が得られるはずです。つまり、第25次、40次、50次の高調波が求められるはずです。グラフでは確かに横軸の25、40、50のところにピークがあることが分かります。今回N＝600なので、グラフはｎ＝N／2＝600／2＝300に関して左右で対称です。
また今回 N＝300なので、グラフはｎ＝N／2＝300／2＝150に関して左右で対称です。
（2020.1.5一部訂正しました）
