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これまで、高音を抑える実験などを試してきました。
そのとき、離散フーリエ係数の値を変えるのですが、守るべきルールがあります。上の記事の通りです。今回は、これを守らないとどうなるか……という話です。
実データをFFTを使って周波数分析し、例えばデータから高い周波数の成分をカットしたいとしましょう。実験なので、データは8点としておきます（Ｎ＝8）。FFTを実行すると次の8個の離散フーリエ係数が得られます。
これらに対し、FFTの性質から次の式が成立します。
高周波成分の係数を0にすることを考えるので、次のようにします。
これで高い周波数の成分はカットされます。しかし、離散フーリエ係数の成分の調整をこれだけにしてIFFTを実行してもとのデータがどうなるのか確認すると、まずいことになっています。具体的には元が実データだったのに、虚数が混ざってしまうのです。そもそも実データを相手にFFTを施すと
たちが成立する（共役複素数になる）はずなのですから、これらが不成立になっていると元が実データではなくなってしまうのですね。
ルールを守らない例と守った例をお見せしましょう。まず、守らない例。
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import sys
import numpy as np
import scipy as sp
from scipy.fftpack import fft
y = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80] #実データ
yf = sp.fftpack.fft(y) #yf[k]には第ｋ次高調波のフーリエ係数が入る
for i in range(8):
print("■yf", i, yf[i])
yf[1] = 3-4j
yf[7] = 5 #yf[1]の共役複素数でない
yf[2] = 6j
yf[6] = 1+3j #yf[2]の共役複素数でない
yif = sp.fftpack.ifft(yf) #ifftで元の波形に戻してみる
for i in range(8):
print("■■yif", i, yif[i])
sys.exit()
#========================================
実行結果は次のようになります。元が実データなのに、IFFTの結果が実データに戻っていません。周波数成分を変えたのだから元のデータも変わるのは当たり前なのですが、これはまずいでしょう……。
■yf 0 (360+0j)
■yf 1 (-40+96.5685424949238j)
■yf 2 (-40+40j)
■yf 3 (-40+16.568542494923804j)
■yf 4 (-40+0j)
■yf 5 (-40-16.568542494923804j)
■yf 6 (-40-40j)
■yf 7 (-40-96.5685424949238j)
■■yif 0 (31.125+0.625j)
■■yif 1 (54.827795795510774-0.6553300858899105j)
■■yif 2 (44.51713562373095-1.375j)
■■yif 3 (40.02144660940672+0.3017766952966374j)
■■yif 4 (49.125+1.625j)
■■yif 5 (44.422204204489226+0.4053300858899105j)
■■yif 6 (35.23286437626905-0.875j)
■■yif 7 (60.72855339059328-0.05177669529663745j)
jは虚数単位です（数学ではiを用いますが、工学の分野では電流にiを使うので虚数単位にはｊを使う習慣だそうで、その関係かも知れません）。
今度は離散フーリエ係数を、ルールを守って書き換える例です。
#===============================
import sys
import numpy as np
import scipy as sp
from scipy.fftpack import fft
y = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80]
yf = sp.fftpack.fft(y) #yf[k]には第ｋ次高調波のフーリエ係数が入る
for i in range(8):
print("■yf", i, yf[i])
yf[1] = 3-4j
yf[7] = 3+4j #yf[1]の共役複素数
yf[2] = 6j
yf[6] = -6j #yf[2]の共役複素数
yif = sp.fftpack.ifft(yf) #ifftで元の波形に戻してみる
for i in range(8):
print("■■yif", i, yif[i])
sys.exit()
#========================================
実行結果は以下です。
■yf 0 (360+0j)
■yf 1 (-40+96.5685424949238j)
■yf 2 (-40+40j)
■yf 3 (-40+16.568542494923804j)
■yf 4 (-40+0j)
■yf 5 (-40-16.568542494923804j)
■yf 6 (-40-40j)
■yf 7 (-40-96.5685424949238j)
■■yif 0 (30.75+0j)
■■yif 1 (53.879572490807405+9.18454765366783e-17j)
■■yif 2 (45.14213562373095+0j)
■■yif 3 (41.67677669529664+7.963329431634469e-16j)
■■yif 4 (49.25+0j)
■■yif 5 (43.120427509192595+9.18454765366783e-17j)
■■yif 6 (34.85786437626905+0j)
■■yif 7 (61.32322330470336-9.800238962368035e-16j)
離散フーリエ係数を変えたのですから元のデータも変わるのは当たり前ですが、すべて実データに戻っていることを確認してください。端数処理の関係でしょうから、
は実数とみてよいでしょう。
離散フーリエ係数を変更するとき、例えばyf[3]を変更するならyf[7]もルールを守りながら変更（共役複素数にする）しなければならない、ということです。ちなみに……最初の例はどうすればよいのでしょうか。
なぜか「離散フーリエ係数を変更するときは、こうしなければなりません」と教えてくれている本が見当たりません。間違えているのか……？と、ややビクビクしていますが実験結果なのだし、これが正しいのでしょう！！ 「当たり前だから書いていないだけ」とか言われそうな気もしますが、初心者は困るんじゃないかな……。
