いぬおさんのおもしろ数学実験室

おいしい紅茶でも飲みながら数学、物理、工学、プログラミング、そして読書を楽しみましょう

アインシュタインの規約とは何か

3次の正方行列A、Bを考えます。成分は以下の通りだとしましょう。 積ABを考えます。積の定義によると つまり、 ということです。 この添え字ですが、みんなで約束しておけばどこに書いてもよいので例えば行列Aの i, j 成分を のように表しても問題ないはずで…

111に電話をかけるとどうなるか?

子どもの頃、多分小学校の1年か2年くらいのことです。いわゆる黒電話が家にありました。ぼくは時々、思い立っては111にダイヤルしていました。あ、若い人は電話のダイヤルって分からないかも知れませんが、昔の電話は指でダイヤルを回して電話をかけていたの…

ガソリン車がなくなる? エンジンは?

国内の新車販売に関し、2030年代半ば以降はガソリンだけで走行する車以外の「電動車」とする目標を設定する方向……というニュースを聞きました。いきなり思い切ったことを言い出したなあ……という印象です。専門ではないですし、体系的な知識を持っているわけ…

万有引力の法則から惑星の軌道は円錐曲線になることを導く

ここまでで惑星の運動について調べ、動径方向の運動方程式、面積速度一定の法則などを明らかにしてきました。 www.omoshiro-suugaku.com 次は上の記事にある式です。 rを時間で微分して、 さらに時間で微分して これを①に代入します。②も使います。 よって …

書籍『物理のための数学 』紹介

今読んでいる『キーポイント力学 (物理のキーポイント (1))』(吉田春夫1996岩波書店)の巻末に力学の本が紹介されています。参考文献というのではなく、著者が「この分野を勉強するならこの本を勧める」みたいな感じに書いています。そのうちの1冊です。 ぼ…

万有引力の式をケプラーの法則から導く

前回、中心力の仮定とケプラーの第1法則(惑星は楕円軌道を描く)から万有引力が距離の2乗に反比例することを示しました。 www.omoshiro-suugaku.com rは焦点からの距離、mは惑星の質量、hは面積速度の2倍(面積速度はh/2でした)、l(小文字のエ…

万有引力は物体までの距離の2乗に反比例することを導く

楕円 は、極座標で書くと となります。ここで各変数は なのでした。図は下の通りです。 です。F、F’は楕円の焦点です。 もうひとつ、準備。前の記事を参照してください。 www.omoshiro-suugaku.com というのがありました。⑦は動径方向の運動方程式です。⑨の…

中心力のもとで運動する物体の面積速度は一定である

中心力とは、空間内の点Pに働く力で常に定点Oを向いているものを言います。物体に中心力しか働いていないとき、その物体の面積速度は一定です。面積速度とは単位時間に線分OPが掃く面積です。中心力が動径OPの長さの2乗に反比例しようが、OPに比例しようが、…

昔、ヘブンアーティストにマジックで応募しました!

石原都知事の頃からです。ヘブンアーティストという資格があります。マジック、ジャグリング、その他何でも、パフォーマーがその資格を取ると東京都の決まった場所でなら(埼玉県のスーパーアリーナのすぐ近くのけやき広場でも)おひねりをもらってもよい、…

シューティングゲーム作成準備~! 効果音、BGMを鳴らす。

勉強と並行してシューティングゲームでも作るかな……と、少しずつ準備しています。pythonにはpygameという2Dゲーム作成のためのモジュールがあり、ゲームを書くのに使えます。3Dは扱えないみたいですが、スプライトは使えるし、3Dっぽく見せる感じ(疑似3D)…

盤外作戦はよいのか?

コミックス『ヒカルの碁』では本因坊、桑原先生がタイトル戦で相手の緒方先生にちょっとした罠を仕掛けます。盤上ではなく、いわゆる盤外作戦。囲碁、将棋では持ち時間が長く2日に渡る勝負だと、「封じ手」というルールがあります。1日目の最後に打つ棋士は…

運動エネルギーを表す式を求める(追加)

物理を勉強するみなさんは「何かおかしい……」と思わないでしょうか? www.omoshiro-suugaku.com 物体がレールなどに沿って動くような状態で、ひもを結びつけてそれを引っ張る。レールからの摩擦力も働く。重力も働いている。上の記事の議論をする段階ではま…

勾配の接線線積分についてちょっと

物理を勉強中です。とりあえず力学をしっかりやって、解析力学、量子力学と進めるつもりでいます。 数学はもちろんたくさん出てきます。しかし、仕方がないのですが、「これ、いいのかな?」という議論が少なくありません。それなりの説明で一応納得しておき…

試験ができなくて泣いている生徒がいた!

とある進学校、高校1年生の女子です。数学Ⅰの定期試験を返したときのこと。全員に返し終わり、「この問題は~」とか解説をしました。その間、列の先頭に座っていた子が何だか様子が変です。ずっと下を向いていました。「??」と思ってしばらく経ってからち…

違和感のある言葉。読解力、数学力、国語力、論理力、英語力、……

流行りなのか分かりませんが、最近よく使われていて、聞いてちょっと気持ちの悪い言葉があります。「×××力」です。気持ち悪い度=0~3で評価してみましょう。これはぼくの評価であって、一般的にどうかということではありませんので念のため。 0……特にヘンな…

赤道上には海抜高度が等しい真向かいの点のペアがある

赤道上の各点で海抜高度を考えましょう。ある場所は0m、別のある場所は120m、また別の場所は-30mとかです。さて、問題です。このとき、ある点とその真向かいの点(地球の真裏にある点)で、高度が等しくなる、そんな点のペアがあることを証明して下さい…

自然対数の底 e は無理数であることの証明

自然対数の底を e とすると、前回のマクローリン展開によれば なのでした。xはどんな値でも収束です。x=1とおいてみると です。これは実は無理数です。証明しましょう。この証明は何回か紹介している数学ワンポイント双書の『テイラー展開』(渡部隆一197…

マクローリン展開できるための条件

マクローリン展開というのがあります。高校生の頃、 というのを見て衝撃を受けました。関数によっては(というか、大抵は)値を求めるのは難しい。指数関数も三角関数もそうです。しかし、マクローリン展開を使えば(関数電卓ではない、普通の)電卓で計算で…

『特命リサーチ200x』で「ノストラダムスの大予言」を解説

『特命リサーチ200x』という番組がありました。20年以上前です。「クライアントから寄せられるさまざまな難問を、民間調査機関、ファー・イースト・リサーチ社(極東リサーチ株式会社)が独自の調査方法によって即座に解決してゆく」という設定です。エージ…

雑記 大掃除の着替え、ホームズ本、勉強の予定

①大掃除の着替え 生徒ではありません。教員です。学校でも大掃除があり、教員は役割分担したり、手伝ったりと大変です。汚れるのがイヤで着替える人も多いと思います。でもぼくはそれほどでもなく、スーツのままだったりします。何年か前、それを見たある管…

ノミは体長の200倍跳ぶ!……って凄いことなのか?

物理の本なのですが、何の本だったか、もう思い出せません。手元にも多分なく、記憶も曖昧です。しかし面白い話で、大体の雰囲気は覚えています。再現してみて、怪しそうな部分は理屈で考えます。ネットで調べたらやはり体長の200倍みたいですね。これだけ聞…

無限小数を100倍するには小数点を2桁動かせばよいのか

例えば…… 123.45454545……×100 = 12345.454545…… と誰でもやりますよね。でも、中学校の頃からこうやっているからこれで正しい、と思い込んでいるのでは? 本当にいいんですか、これで……? 次は項の値が0~9の整数である数列です。 この数列に対し、次のよう…

コンピュータ言語作成のすすめ。再帰コールの不思議。

再帰的なプログラムというのがあります。プログラムを書き始めたばかりの頃、そういうものがあるとは全く知らなかったときに再帰的なプログラムに出会ったときの衝撃は大きかったです。大学では情報処理の授業でFORTRANを習いましたが、今はどうか知りません…

Pythonで円周率を小数第100位まで求める(3)

今度は引き算を試してみます。関数 minus() を書きました。繰り下がりは、あれば cf = 1とし、なければ cf = 0 で処理します。各桁ごとに1桁の数の引き算をし、結果が負になったら繰り下がりありとして引き算の結果には10を加えます。これを繰り返します。 i…

Pythonで円周率を小数第100位まで求める(2)

まずリスト同士の足し算の関数を作ります。5831.6591 + 6019.4723 を計算します。リストAUに5831.6591の整数部分を、ADに小数部分を入れます。同様にBU、BDにも値をセットし、plus(AU, AD, BU, BD, CU, CD)をコールするとCU, CDに計算結果が入ります。Uはup…

Pythonで円周率を小数第100位まで求める(1)

円周率を試しに計算してみることにしました。今はPythonをよく使っているので、Pythonで。何回かに分けてやってみます。世の中には50兆桁まで計算した人がいるそうです(ウィキペディア)!! 頑張ったなあ……。でも、ここでは計算の理屈を整理し、実験をやっ…

生徒が科目選択の相談に来ました

女生徒が相談に来ました。2年から3年に進級するときの選択科目をどうしたらよいか、ということです。ぼくは担任というわけではなく、教科担当として数学を教えていました。世界史か日本史か迷っている。選んだ方を受験科目にしたい。来年、世界史ならA先生、…

修学旅行、大変だけれど賛成です

コロナであっちでもこっちでも遠足がなくなったり修学旅行が時期を変えられてしまったり、大変のようです。コロナ以前から何となく「遠足など無用」みたいな空気は感じてはいました。 www.omoshiro-suugaku.com 遠足が嫌いな人たちはこれ幸いとばかりに「遠…

全微分可能とは何か

空間内に平行四辺形ABCDがあります。座標を見ると分かりますが、直線ABは平面y=y0(zx平面と平行)上にあり、直線ADは平面x=x0(yz平面と平行)上にあります。ここでm1は直線ABのzx平面内での傾き、m2は直線ADのyz平面内での傾きで…

全微分について考えるための平面の方程式

平面の方程式について考えましょう。下の図の平面のベクトル方程式は次のように書けます。Oは位置ベクトルの原点です。 p = a + tu + sv 点Pの位置ベクトルはt,sをうまく決めてやれば右辺のように書ける、ということですね。 x、y、z軸を考えましょ…