関数ｙ＝|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|+|x－6|の最小値を求めます。ｘ＜1のとき、1≦ｘ＜2のとき、2≦ｘ＜3のとき、……と細かく場合を分ければよいですが、ここではもっと直観的な方法で考えましょう。
そもそもこの関数のグラフは、場合分けをした後のことを考えれば明らかですが直線（線分）を組み合わせたものです。それはそうです。各項は絶対値記号を外せばｘ－ａの形か、ーｘ＋ａの形になるからです。しかも、このグラフは途切れているところはないことにも注意しましょう。例えばｘ＝3の前後で場合分けの仕方は変わります（ｘ－3＜0からｘ－3≧0に変化するから）。ｘ＝2.9、2.95、2.99、……、ｘ＝3、ｘ＝3.001、ｘ＝3.004、……と少しずつ変化させることを考えれば分かりますがこの関数はｘ＝3で連続（途切れていない）です。さて、ｘ＜1の部分ではグラフの傾きは－6です。6個の絶対値記号は符号を変えて外されるからです。1≦ｘ＜2の部分では傾き－4です。1項目の絶対値記号だけがそのまま外れ、他は符号が変わって外れるからです（傾きは－5ではありません！）。こうして、ｘ＝1，2，3，………を継ぎ目として、傾きが－6，－4，－2，0，2，4，6と変化することが分かります。ｘの範囲はそれぞれ、ｘ＜1，1≦ｘ＜2，2≦ｘ＜3，3≦ｘ＜4，4≦ｘ＜5，5≦ｘ＜6，6≦ｘです。従って、最小値は3≦ｘ≦4のときで（ｘ＝4を含むことに注意）、関数にｘ＝3を代入すればｙ＝｜3－1｜＋｜3－2｜＋｜3－3｜＋｜3－4｜＋｜3－5｜＋｜3－6｜＝2＋1＋0＋1＋2＋3＝12です。
なお、項が偶数個なので真ん中では傾き0になっています。奇数個なら真ん中あたりはＶ字型になります。
では今回はこの辺で！
