Aをｎ×ｎの実対称行列、
を正規直交基底とします。
さて、応用ではよく対称行列が出てきます。このAに対し、｜λI－A｜＝0（λのｎ次方程式。Iはｎ×ｎ単位行列）の解をAの固有値と言います。そして、λに対し、Au＝λu (u ≠ 0) を満たす u を固有値λに対応する固有ベクトルと呼ぶのでした。ｎ次の実対称行列は実数の固有値をｎ個持ちます（２重解なら２個、３重解なら３個とカウント）。このとき、
最後の式は対称行列Aの固有値分解（スペクトル分解）と言います。この説明は以前にも紹介した『線形代数セミナー－射影，特異値分解，一般逆行列－』（金谷健一2018共立出版）によります。
www.omoshiro-suugaku.com
行列にベクトルをかける計算にはこういう意味があったのだ、と鮮やかにイメージできます。この本にはこういった話が満載です。
最後に備忘録を兼ねて、対称行列、固有値についてまとめておきます。
対称行列の性質 まとめ
●実対称行列の固有値は全て実数（固有値は0もあり得る）。
●相異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交する。
●直交対角化可能（直交行列で対角化できる）
●対称行列Ａは Ａ＝Σλuu' と固有値分解できる。λは0でない固有値、uはそれに対応する固有ベクトル。ここで「'」は転置を表す。固有値には重解もあるかも。つまり例えば
●rankA はＡの0でない固有値の個数に等しい。重解は重複度をカウント。
