正の数を無限個足すことを考えます。例えばａ＝0.1＋0.01＋0.001＋……とか。このａは結局ａ＝0.1111……と考えられますから、ａ＝1／9ということです（1÷9＝0.1111……）。正の数だからと言って、無限個加えれば結果はいくらでも大きくなる、というわけではないのです。いくらでも大きくなる場合は「和は正の無限大に発散する」と表現します。では次は？
１にその半分である1／2を加え、その半分である1／4を加え、その半分である1／8を加え、……と計算しています。高さ1ｍのブロックを積み、0．5ｍのブロックをその上に積み、0．25ｍのブロックを積み、……と繰り返すと高さは2ｍに近づくことが何となく分かるかも知れません。ｂ＝2なのです。これも、正の数を無限個加えてもちゃんとした値に落ち着く例でした。数学ではこの事実を「和は2に収束する」と言い表します。近づくだけで2にはならないはず、と思うかも知れません。しかし上のｂ＝……の式は「近づき先を表す」と約束されているのです。「近づき先」は数学の用語では極限値と言い、高校の数学Ⅱの微分のところで出てきます。実はこの値が本当にｂ＝2であることを示したければ数学Ⅲで勉強する無限等比級数という考えが必要ですが、ここでは説明しません。では次はどうでしょうか。
ｃはｂと同じようにどんどん0に近づく数たちを総和しています。和はどのくらいになるのか？ ｂ＝2だったからｃ＝3くらい？ ……実はなんと、ｃはいくらでも大きくなります。先まで計算すると100よりも、10000よりも大きくなるのです。いくらでも大きくなる、つまりｃの和は正の無限大に発散するのです。これを示すため、次のｄを考えてみます。
1／8が4個並んだ後は1／16が8個並びます。次は1／32が16個です。ｄとｃを比較すればｄ＜ｃが分かります。ｃの1／3がｄではそれより小さい1／4で置き換えられているし、ｃの1／5，1／6，1／7がｄではそれより小さい1／8で置き換えられているからです。
上の式で、ｄの下線ｐの部分もｑの部分も合計が1／2に等しいことに注意すれば、下の式が成り立つことが分かります。
つまりこのｄは先まで計算すればいくらでも大きくなることが示せました（つまりｄは正の無限大に発散する）。すでにｄ＜ｃであることは確認できていましたから、結局、（ｃはｄより大きく、ｄはいくらでも大きくなるのだから）ｃはいくらでも大きくなることが分かりました。ｃとｄはどちらもどんどん小さくなる正の数の無限個の和なのですが、結果が全く異なるのです。
大学で理系に進めば微分積分の授業で出てきます。大学の数学は高校の数学に比べて比較にならないくらい厳密、抽象的です。もちろん高校の数学が基礎になっていますが、別物……という印象です。楽しいです。
