3乗根の話です。例えば8の3乗根というのは3乗して8になる数で、2です（実数の範囲では2だけ。複素数の範囲では2を含め、3つあります）。では10の3乗根は？ 3乗して10になる数です。2だと3乗しても8、3だと3乗したら27だから大き過ぎ。2.××××……という数でしょう。これを電卓で求める方法を紹介しましょう。ルートキーのついている電卓を用意してください。スマホの電卓では「標準電卓」だとルートキーがなく、「関数電卓」だと高機能で数式をそのまま入力できるようになっていたりして、これから書く説明に合いません。できれば物理的なキーのついた、昔ながらの電卓がよいです。
次の操作をして下さい。
10√√×10＝√√×10＝√√×10＝……
√√ と押した後の表示がだんだん安定してくる（あまり変わらなくなる）はずです。実際にぼくの電卓でやってみると……
10√√＝ 1.778279410
×10＝√√ 2.053525026
×10＝√√ 2.128751661
×10＝√√ 2.147985028
×10＝√√ 2.152820461
×10＝√√ 2.154031019
×10＝√√ 2.154333765（値が安定してきた）
以下ではｘのｙ乗をｘ^ｙと表すことにします。
ここで、この最後の値を3乗してみると
2.154333765 ^ 3 ＝ 9.998594708
おおっ、確かに10に近いですね。2.154333765は10の3乗根の近似値とみていいでしょう。さらに繰り返せばもっとよい値が求まります。どういうことでしょうか？
安定した値をｘとしてみます。電卓の操作方法（「ｘに10をかけてルートを2回計算するとｘになる」）から次の式が成立します。
両辺を4乗すれば10ｘ＝ｘ^4
両辺をｘで割って10＝ｘ^3
つまりｘは10の3乗根なのです。
数学的には、この操作で本当に一定の値に近づくことを（数学の用語では「収束(しゅうそく)」と言う）きちんと証明しなければなりませんが、今はまあよしとしましょう。この辺の事情は高校で数学Ⅲまで勉強すると分かるようになります。ぼくはこの話を高校生の時『電卓に強くなる』（気賀康夫1977講談社ブルーバックス）を読んで知り、「これはすごい！」と驚きました。ルートキーさえあれば、3乗根のキーがなくてもいろんな数の3乗根が求められるのです。素晴らしい本なのに絶版。いい本がどんどんなくなっていく……。悲しいです……。
実はさらに、ルートキーがなくても四則（＋－×÷）だけで例えばルート10も、10の3乗根も求められます。さっきの3乗根でもそうだったんですが、数学に漸化式(ぜんかしき)というのがあり、これを使います。ニュートン法と言います。こんな話もいずれ。
↓ 上の3乗根の求め方をどうやって得たのか気になるならこれ！！
↓ ルートキーで5乗根を求めるならこれ！！
