連立1次方程式がどんなときに解を持つのか。高校で一般論は出てきません。整理しておきましょう。
実は、次が成立するのです。
証明しましょう。
まず右向き。
が解を持つことになります。ここで
行列のランクとは、行列の列ベクトルで線形独立なものの最大個数のことでしたから、Aと[A b]のランクが等しいことが分かります。
逆に rank A = rank [A b] だとしましょう。
（追記: つまり、解が見つかった！）
そうでないとするとランクが等しくならない（右辺が大きくなる）からです。
以上です。一般論が出てこないなら勉強しておかなくてよい……というわけにはいかないと思います。高校の先生にとって、勉強している生徒に「解があったりなかったり、どういうことなんですか？」などと聞かれるのはちょっと嫌かも知れません。「ランクという考え方があって、それを使うと……」と説明してあげればよいでしょう。線形独立な列ベクトルの最大個数でランクを定義すれば、高校で勉強する線形独立の知識がすぐ使えて、上の証明はそのまま理解できます。なお、図形的に考えて理解することもできると思います。
