ニュートン法で方程式の解を求める

　ニュートン法は、グラフの接線を利用して方程式の解の近似値を求める、効率のよい方法です。これについては前の記事があります。
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このときは具体的にプログラムを書いて解を求めて……とはやりませんでした。今回は実験してみましょう。
　図はｙ＝ｆ(ｘ)のグラフです。

点(ｐ,ｑ)で接線を引き、ｘ軸との交点を求めます。接線の方程式は

ですから、ｙ＝0とおくと

これが接線とｘ軸の交点の座標です。この点での接線をまた引き、同じことを繰り返します。図を見ると分かりますが、何回かで接線とｘ軸の交点はかなりグラフとｘ軸の交点に近づきます。手で計算すると大変ですから、もちろんコンピュータでやります。ここではｆ’(ｘ)を通常の導関数の計算で求めるのではなく、近似値で代用します。この近似値は前に使った方法で求めます。
　では、例によってPythonで。√2を求めてみます。

import sys
def f(x):
    return x *x - 2
def g(p): # x = p での微分係数（導関数の値）を求める
    return (f(p + d) - f(p))/d
#
x = 2 #xの初期値
d = 0.0001 #微分係数を求めるためのｘの増分
#
#xのところで接線を引き、ｘ軸との交点を求める。
#その交点の座標を改めてｘとおき、繰り返す。
for i in range(100):
    x = x - f(x) / g(x)
#
print('解の近似値 x = ', x)
sys.exit()

実行結果は以下の通り。
解の近似値 x = 1.414213562373095
　この方法（グラフの傾きを近似値で求める）なら、相手にする方程式によって導関数を入れ直す、という作業は不要です。

　方程式は、解の公式があるものなど本当にわずかです。ほぼないと言ってもよいでしょう。しかし実用では困りません。コンピュータを使えば近似値を求めることができるからです。