常用対数をとると
高校では対数のところで出てくる問題です。
として答えなさい、などと但し書きがあります。これは近似値ですからもちろん真の値とは異なり、ｍによっては桁数に誤りが出る可能性があります。たいていはｍ＝30とかｍ＝50程度なので問題ないのですが、ではｍがどの程度になると危ないのでしょうか。ｍがある程度以上になると
の差が大きくなるわけです。
であるとします。各辺をｍ倍して
を得ますから、さっきの★を考えて ｋ≦ｍａかつｍｂ≦ｋ＋1となる自然数ｋがあればｋ＋1桁に確定、となります。つまりｍｂ－1≦ｋ≦ｍａ、すなわち ｍｂ ≦ ｋ＋1 ≦ ｍａ＋1 が成立すればｋ＋1桁となります。これは十分条件であって、不成立だから桁数を求められない、と断言はできません。念のため。
さて、
ということですから、ａ＝0.30095、ｂ＝0.30105とおきましょう。
0.30105ｍ ≦ ｋ＋1 ≦ 0.30095ｍ＋1 であればｋ＋1桁に確定です。あとはｍに具体的な値を入れて、その式を満たすｋがあるかどうか確認すればよいのです。例えばｍ＝200とすると 60.21 ≦ ｋ＋1 ≦ 61.19で、ｋは定まります。だからこのときは桁数は正確に求まります。しかしｍ＝1000とすると 301.05 ≦ ｋ＋1 ≦ 301.95 となってｋがありません。つまり1000乗の時は正しい桁が計算できるかどうか不明、ということになります。
以上、ある程度結果を出したのでまとめておきます。
追記：
2020年5月27日(水) 代入のミス、計算ミスを訂正しました。
