ラグランジュの未定乗数法の第2回です。第1回は大分前、手順だけを説明しました。今回は理屈を解説します。条件 g(x, y) = 0 のもとで、ｚ＝f(x, y) の極値を求めます。図の細い線（f(x, y) = C1 など）は z = f(x, y) の等高線です。例えば f(x, y) = C1 は z = f(x, y) の、高さC1であるような (x, y) が描くｘｙ平面上の図形です。
図形 h(x, y) = 0 の点 (x, y) における法線ベクトルは ∇ｈなのでした。この事実を使います。∇ｈは
で定義されます。∇は「ナブラ」と読みます。図を参照してください。
f(x, y) の値を求めるのに使える点 (x, y) は曲線 g(x, y) = 0 上にしかありません。しかも、図の例えばA点でｆが極値を取るならば曲線 f(x, y) = C1 はその点で g(x, y) = 0 に接しているはずです。理由を以下で示しましょう。
f(x, y) = C3, f(x, y) = C2, f(x, y) = C1 とジワジワ右辺を増やしていったとしましょう（曲線がジワジワ動きます）。初めて曲線 g(x, y) = 0 と曲線 f(x, y) = (定数) が共有点を持つようになるのは右辺が C1 まで増えたときで（式は f(x, y) = C1）、その曲線は g(x, y) = 0 と点Aで接することになるのです。なお、この点Aでは2曲線が接しているのですから ∇f と ∇g は平行のはずです（∇f 、∇g は法線ベクトルなのでした）。
従って、極値を求めるためには ∇f = λ∇g と 最初の条件 g(x, y) = 0 を連立すればよいのです。ここから
と導くのは易しいことです。その先、次の過去の記事に続きます。
