くじ引きの、ちょっと不思議な話

　確率の、ちょっと不思議な話を書きましょう。袋a、a’、b、b’にくじが入っています。内訳は次の通りです。
袋a　くじは10本。そのうち当たりは3本。当たる確率は3／10。
袋b　くじは60本。そのうち当たりは17本。当たる確率は17／60。
袋a’　くじは30本。そのうち当たりは5本。当たる確率は5／30。
袋b’　くじは60本。そのうち当たりは9本。当たる確率は9／60。
aから当たりを引く確率はbから当たりを引く確率よりも大きいですね。通分して3／10＝18／60とすればわかります。また、a’から引いて当たる確率は5／30＝10／60なので、a’とb’とではa’が当たりやすいということになります。さて、今、aとa’を混ぜて袋Aにまとめます。bとb’も混ぜて袋Bにまとめます。このとき、Ａから引いて当たる確率と、Ｂから引いて当たる確率はどちらが大きいでしょうか？ 　a、a’はどちらも当たる確率は高い袋なのですから、これらを混ぜたＡから引いた方が当たりそうな気がしますが……。
　Ａから引いて当たる確率をきちんと求めると、40本中に当たりは8本、よって8／40＝24／120。Ｂの方は、120本中に当たりが26本、よって26／120。つまり、Ｂの方が当たりやすいのです！！　なぜこんなことが起こるんでしょうか……？？
　要するにぼくたちの錯覚、勘違いなのです。aの方がbよりも当たりやすいし、a’がb’が当たりやすいからと言って、混ぜたときにa，a’を混ぜたものの方が当たりやすい保証はないというだけのことです。bの中身を10000本、そのうち当たりを2999本としてみれば納得できるはずです（このときもaとbとではやはりaの方が当たる確率は大きいことに注意）。この場合、Aから引いて当たる確率はもちろんさっきと同じで8／40＝0.2ですが、Bの方はbの本数が極端に多いためおよそ0.3になってしまいます。a’の内訳を調整して、Aから引いて当たる確率を0.3より小さくできるのです。