線形計画法の最も基本的な問題が数学Ⅱに出てきます。次のような問題を考えましょう。
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点（ｘ,ｙ）が次の連立不等式 ｘ＋3ｙ≦9, 2ｘ＋ｙ≦8, ｘ,ｙ≧0
を満たす領域を動くとき、ｘ＋ｙの最大値を求めなさい。
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大体の図は描いておきました。水色の四角形の周および内部（領域Ｄと呼びましょう）の点のうち、ｘ＋ｙの値を最大にする点を見つけます。
ｘ＋ｙ＝ｋとおきます。ｋを最大にすればよいわけです。この式はｙ＝ーｘ＋ｋと変形できますから、図形的には（一部が赤くなっている）傾き－1、ｙ切片がｋの直線を表します。この直線が領域Ｄと共有点を持った状態でｋを最大にするには、直線が（3，2）を通ればよいですね。式にｘ＝3，ｙ＝2を代入すればｋ＝5と分かります。
……とまあ普通の解答はこんなもんでしょう。生徒はこれを見てどう思うのでしょうか。これだけで分かるのか不安なので、ぼくは次の2点、特に②を強調します。
①ｋ（＝ｘ＋ｙ）を最大にする点は領域Ｄから選ぶ。例えば（1，1）を選ぶとｋ＝2、（2，1）を選ぶとｋ＝3、……。
②赤い線分から点を選ぶと、どれを取ってもｘ＋ｙの値はｋ。すなわち、領域Ｄは線状に分けられていて、どの線分を選ぶかでｘ＋ｙの値は決まる。その値は切片に等しい。
②はなぜ成立するのか？ 赤い線分上の点はどれもｙ＝ーｘ＋ｋを満たします。よってｘ＋ｙ＝ｋとなります。だからどの点を選んでもｘ＋ｙの値はｋになるのです。
領域Ｄから点を自由に選べるが、ｘ＋ｙの値は線状に決まる。その値は切片に等しい。切片を最大にすればよいのだから（3，2）を通せばよい。ぼくはこうして「線状に値が決まっている」と明確にしておいたほうがよいと感じています。そうしないと「領域Ｄのたくさんの点たちは一体何をやっているの？」ということになりそうな気がするからです。値をｋにしたければ赤い線分上のどの点を取ってもよいのです。ただ、ｋを最大にするには直線を（3，2）を通さなければならず、そのとき「赤い線分」はただ1点、（3，2）だけになってしまうのだ、ということです。
世の中ではもっと規模の大きな問題が出てきます。不等式は800本、変数は1700万個の問題もあるそうな。もちろんそういうときはパソコンで線形計画法の問題として最大値や最小値を調べます。そんな話もついでにしてあげるとよいと思います。
