あれ？と思った証明ふたつ - いぬおさんのおもしろ数学実験室

1. ある定理（ある級数の収束に関する定理）の証明の最後の方に右のような不等式が出てきました。ｎは自然数（1，2，3，………）です。
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なぜ成立するのか特に何の説明もないですし、じゃあ簡単に示せるのか？　（最悪、導関数を求めて証明できるんだろうけど）しばらく悩んでいて、そのうちに「あ……！！」。「相加平均、相乗平均の関係」というのがあったのでした。
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が成立します。これを用いて
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でいいんですね。ヤレヤレ……。
2. ちょっと変わった（？）証明。定理「 $x^{5}－x+a = 0$ ……★ が重解ｂを持つときは、 $5b^{4} = 1$ が成立する」を証明します。
　ｂが★の重解ならば、p(ｘ)を3次の多項式として $x^{5}－x + a = (x－b)^{2}p(x)$ が成立します。これは恒等式ですから、ｘに何を代入しても成立します。そこで両辺にｘ＝ｂ＋εを代入してみます(ε ≠ 0 とする。εは「イプシロン」）。すると $(b + ε)^{5} －(b + ε) + a = ε^{2}p(b + ε)$ を得ます。左辺を計算すれば $b^{5} + 5εb^{4} + ε^{2}(10b^{3} + 10b^{2}ε + 5bε^2 + ε^3)－b －ε + a =ε^{2}p(b + ε)$ ……★★となります。5乗の展開には2項定理を使えばいいでしょう。ｂは★の解なので $b^{5}－b + a = 0$ が成り立ちますから、これを★★の左辺に代入して、 $5εb^{4} + ε^{2}(10b^{3} + 10b^{2} ε+ 5bε^2 + ε^3)－ε = ε^{2}p(b + ε)$ が成立。両辺をεで割ると $5b^{4} + ε(10b^{3} + 10b^{2} ε+ 5bε^2 + ε^3)－1 = εp(b + ε)$
∴ $5b^{4}－1 = εp(b + ε)－ε(10b^{3} + 10b^{2}ε + 5bε^{2} + ε^{3})$
ε( ≠ 0) はどんな数でもいいので、いくらでも0に近い値を使えます。このとき最後の式の右辺はいくらでも0に近づきます。ところが左辺は定数ですから、この左辺は0でなければなりません。これで $5b^{4} = 1$ が示せました。
　いや、正しい証明なんだけれど、「うーん」と唸ってしまいました…。