線形独立（1次独立）な3個のベクトルをａ，ｂ，ｃとします。これらから直交する3個のベクトルを求めます。今回紹介するのはグラム・シュミットの直交化法というものです。説明は3次元空間でしますが4次元以上でも成立する方法です。
まず準備。ベクトルｘと、単位ベクトルｅを考えます。ｘ、ｅは線形独立としておきます。
ｅが乗っている直線へのａの正射影ベクトルは
と表せます。このベクトルはａのｅと平行な成分です。ｅが単位ベクトルであることに注意して下さい。以下ではこれを使います。
①ａをその長さで割って単位ベクトルｕにする。
②ｂー(ｂ・ｕ)ｕ を求め、それを単位ベクトルにする。これをｖとする。
③ｃー(ｃ・ｕ)ｕー(ｃ・ｖ)ｖ を求め、それを単位ベクトルにする。これをwとする。
こうしてでき上がったｕ、ｖ、ｗは直交しています。実際、ｕ・(ｂー(ｃ・ｕ)ｕ) = 0 、ｕ・(ｃー(ｃ・ｕ)ｕー(ｃ・ｖ)ｖ) = 0 などが成立するからです。ここでｕ・ｕ = 1 、ｕ・ｖ = 0 などを使っています。
この方法の直観的な意味を説明しましょう。②ではｂからｂのｕに平行な成分を引き算しています。だから引き算の結果はｕと直交するのです。③ではｃからｃのｕに平行な成分と、ｃのｖに平行な成分を引き算しています。だから引き算の結果はｕにもｖにも直交するのです。
初めてこの方法を知ったのは大学の線形代数のテキストででした。「いったい何を言いたいんだろう……？」と思いましたが、図形的な意味を考えたら「なるほど、なるほど……」。しかしそれなら最初からそういう説明を書いておいてくれればいいのに、と思いますが、まあ数学は「そういうのは自分でイメージして下さい」みたいな感じですよね……。
線形代数を大学で勉強した印象は「抽象的」。抽象的なものも慣れればそのまま何となく具体的な存在に思えてくるものですが、難しそうなことをやるなあ……と思っていました。微積分は「精緻」という印象。特に一様収束とか、収束・発散の判定とか、よくぞここまで細かなことを厳密に考えたものだ、と感心していました。まだ若かったし、何をしても面白かった……！！
