GPSの話をしましょう。GPSとは「Global Positioning System」（全地球測位システム）の略です。地球の周りを回る何個かの人工衛星から電波を受け取り、自分が今どこにいるのか調べる（測位といいます）ことができる、アレです。GPSのための人工衛星は20個以上回っています。GPSを用いたカーナビなど、今やもう珍しくはありませんよね。
話を簡単にするため、ここでは宇宙空間にｘ軸を1本用意し、その上に衛星とGPS受信機（スマホとかカーナビとか）が乗っているものとします。衛星Aは座標ａの位置にいるとします。受信機Ｘは座標ｘとしましょう。このｘを求めたいわけです。Ａにはきわめて正確な時計が積んであります。原子時計というやつです（核エネルギーを動力にしているわけではありません……）。またＡは自分の軌道のデータを持っており、座標がａであることは分かっています。Ａは電波で「このメッセージはＡから送信しています。Ａの位置は座標ａ、現在時刻は13:00:00」といったメッセージを受信機Xに送ります。電波は光と同じ電磁波なので秒速およそ30万ｋｍで進みます。ｃ＝30万ｋｍ／秒とおきましょう。受信機Ｘにも時計は組み込んであります。これが例えばＡに積んであるものと同様で原子時計だったら、メッセージを受信した時刻が13:00:01なら13:00:00からの経過時間を計算し、ｃをかけ算すればＡからＸまでの距離が求まり、ｘが分かります。この場合は1秒でメッセージが届いたわけで、ＡＸ＝30万ｋｍと分かるわけです。しかし原子時計は大きいし、値段だって1000万円とかするもので、とうてい個人の車などで使うＧＰＳの受信機には組み込めません。じゃあ不正確な時計だとどうなるか？ 受信機Ｘに組み込む時計の誤差が例えば0.1秒だとすると距離に0.1ｃ＝3万ｋｍの誤差が、0.01秒の誤差だとしても3000ｋｍの誤差が出てしまいます。これでは全く使い物になりません。
ここで、うまい方法があるのです！ Ｘに組み込む時計は普通のクオーツかなんかだとし、正確な時計に比べて誤差がε（イプシロン）だとします。εはギリシャ文字で、数学では小さい数を表すのによく用います。もちろんこのεの値は不明です。マイナスの数かも知れません。ｘ軸上に衛星Ｂも用意しましょう。Ａは座標ａ、Ｂは座標ｂです。Ａは時刻ｔにメッセージを送り、Ｂは時刻ｓにメッセージを送ったとしましょう。Ｘはこれをそれぞれ時刻ｔ’、ｓ’に受け取ったとします。このｔ’、ｓ’はＸに組み込まれた安い時計が示す時刻です。従って実際にＸがＡからのメッセージを受け取った時刻はｔ’＋ε、Ｂからのメッセージを受け取った時刻はｓ’＋εのはずです。このとき図を見ながら次の式が成り立つことを確認してください。使っているのは「距離＝時間×速さ」だけです。
ａ－ｘ＝(ｔ’＋ε－ｔ)ｃ
ｘーｂ＝(ｓ’＋ε－ｓ)ｃ
この式の中で値が不明なのはｘ、εだけです。つまりこの連立方程式を解くだけでｘ、εが分かるわけです。中学、高校で数学の時間に解く連立方程式と変わりません。これがＧＰＳの原理です。受信機に組み込む時計は安物でよく、しかし代わりに衛星が2台必要になるのです。
実際には受信機は空間の中にあり、位置の特定のためには4台の衛星が必要です。やはり時刻の誤差をεで表し、受信機の座標を誤差ごとまとめて求めてしまうのです。ぼくは初めてこの方法を知ったとき、「おおお……、これはすごい……」と、本当にびっくりしました。実際には相対性理論の効果も考慮に入れなければならないとか。こちらは勉強中なのでまとまったらまた改めて……。今回の記事の内容は、少し前に読んだGPSの技術について書いてある本によっています。今手元になく、書名が分かりません。分かったら追記します。
