ａ，ｂを整数、ｐを素数とするとき、
をそれぞれｐで割った余りは等しい
が成立するのでした。ここでｎを自然数とし、上の定理でａ＝1、ｂ＝1＋1＋………＋1（ｎ－1個の和）とおけば、
をｐで割った余りは等しいことが分かります。つまり
をｐで割った余りは等しくなります。再び同じ式変形で
をｐで割った余りは等しくなります。これを繰り返せば
をｐで割った余りは等しくなります。これで
をｐで割った余りが等しいことの証明ができました。まとめておきましょう。
このとき
はｐで割り切れます。
ここで(ｎ，ｐ)＝1（ｎ，ｐの最大公約数が1）のときは
がｐで割り切れます。以上でフェルマーの小定理
が得られました。証明の仕方は他にもあります。調べてみてください。前回書きましたが、この定理はあちこちに顔を出します。現代の暗号では数学を使います。整数論を使った暗号にはこの定理は必須です。がんばりましょう！
